[論文レビュー] Uppers to zero in polynomial rings and Prüfer-like domains

Gyu Whan Chang, Marco Fontana|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、商体 $K$ を持つ整域 $D$ における半スター操作 $φ$ を用いて、$φ$-準プファーダメインを導入し、特徴づける。これは、古典的な概念（準プファーダメイン、UM$t$-ドメイン）を一般化する。本稿では、整域 $D$ が $φ_{f}$-準プファーダメインであることと、$φ_{f}$-原始的拡大であることの同値性を確立し、UM$t$-ドメインの整閉包が P$v$MD であるための必要十分条件を示す。すなわち、$D$ の $w$-閉包が P$v$MD であり、$D$ 及びその整閉包における $w$-操作が自然埋め込みを通じて整合的である場合に、そのような性質が成り立つ。

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain and $X$ an indeterminate over $D$. It is well known that (a) $D$ is quasi-Prüfer (i.e, its integral closure is a Prüfer domain) if and only if each upper to zero $Q$ in $D[X] $ contains a polynomial $g \in D[X]$ with content $\co_D(g) = D$; (b) an upper to zero $Q$ in $D[X]$ is a maximal $t$-ideal if and only if $Q$ contains a nonzero polynomial $g \in D[X]$ with $\co_D(g)^v = D$. Using these facts, the notions of UM$t$-domain (i.e., an integral domain such that each upper to zero is a maximal $t$-ideal) and quasi-Prüfer domain can be naturally extended to the semistar operation setting and studied in a unified frame. In this paper, given a semistar operation $\star$ in the sense of Okabe-Matsuda, we introduce the $\star$-quasi-Prüfer domains. We give several characterizations of these domains and we investigate their relations with the UM$t$-domains and the Prüfer $v$-multiplication domains.

研究の動機と目的

• 古典的な準プファーダメインドメインおよび UM$t$-ドメインの概念を、半スター操作の枠組みへと拡張すること。
• 原始的拡大および INC 性質と関連して、$φ$-準プファーダメインドメインの構造的性質およびイデアル論的性質を調査すること。
• UM$t$-ドメインの整閉包に関する未解決問題およびこれらのドメインの局所的・グローバルな性質に関する問題を解決すること。
• 半スター操作を用いたプファーレイクなドメインの理論を統一的に扱う枠組みを提供すること。
• UM$t$-ドメインの整閉包が P$v$MD であるための必要十分条件を証明すること。すなわち、$D$ の $w$-閉包が P$v$MD であり、$D$ 及びその整閉包における $w$-操作が自然埋め込みを通じて整合的である場合に、そのような性質が成り立つ。

提案手法

• 整域 $D$ 及びその商体 $K$ に対して、半スター操作 $φ$ を用いて $φ$-準プファーダメインドメインの概念を導入する。
• $φ_f$-原始的拡大および関連する $Na(D, φ_f)$ の構成を用いて、$φ_f$-準プファーダメインドメインを特徴付ける。
• $φ_f$-準プファーダメインドメイン、$φ_f$-INC ドメイン、および $Na(D, φ_f)$ における拡大素イデアル性質の間の同値性を確立する。
• $w$-操作および $v$-操作を用いて、特に UM$t$-ドメインの文脈において、次元および整性に関する性質を分析する。
• 自然埋め込み $ ilde{\iota}: D \hookrightarrow \widetilde{D}$ を用いて、$D$ 及びその整閉包 $\widetilde{D}$ における $w$-操作の関係を定式化し、$(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$ を証明する。
• 既知の P$v$MD および $t$-可逆性に関する結果を活用し、$D$ が P$\star$MD であるための必要十分条件が、任意の2生成イデアルが $\star_f$-可逆であることであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整域 $D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであるための条件は何か？ また、$\star_f$-原始的拡大および INC 性質とはどのように関係しているか？
• RQ2 UM$t$-ドメインの整閉包が P$v$MD であるための条件は何か？ また、$w$-操作の振る舞いとはどのように関係しているか？
• RQ3 UM$t$-ドメインの $w$-次元および $t$-次元は、$Na(D,v)$ の次元とどのように関係しているか？
• RQ4 半スター操作の枠組みは、準プファーダメインドメイン、UM$t$-ドメイン、P$v$MD の理論をどのように統一的に扱えるか？
• RQ5 UM$t$-ドメインの局所的・グローバルな性質は、$D$ 及びその整閉包における $w$-操作の整合性によって完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 整域 $D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであることと、$D \subseteq K$ が $\star_f$-原始的拡大であることとは同値である。
• 整域 $D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであることと、$D$ の任意の上位環 $R$ が $(\star_f)_{\iota}$-準プファーダメインドメインであることとは同値である。
• $\mathrm{Na}(D, \star_f)$ が準プファーダメインドメインであることと、$D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであることとは同値である。
• $\mathrm{Na}(D, \star_f)$ の整閉包がプファーダメインドメインであることと、$D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであることとは同値である。
• 半スター操作 $\star$ に対して、$D$ が $\star_f$-準プファーダメインドメインであることと、$D$ が $t$-準プファーダメインドメインであり、かつすべての $\star_f$-極大イデアルが $t$-イデアルであることとは同値である。
• UM$t$-ドメイン $D$ が P$v$MD の整閉包を持つことと、$\widetilde{D}$ が P$v$MD であり、$(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$ であることは同値である。これにより、UM$t$-ドメインの局所的・グローバルな性質に関する未解決問題が解決された。