[論文レビュー] Upside Down Numerical Equation, Bimagic Squares, and the day September 11

Inder J. Taneja|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、0, 1, 2, 6, 9 の数字のみをデジタル形式で使用して、180度回転させても魔方陣の性質を保つ「逆さまの双魔方陣」—回転させても魔方陣のままであるような双魔方陣—を紹介する。11.09.2001 および 20.10.2010 の日付から導かれる数式に基づき、9×9、16×16、25×25 の双魔方陣を構築し、S1 および S2 の和が回転によっても保存されることを確認した。これは、このような高次の逆さま双魔方陣の最初の既知の構築例である。

ABSTRACT

In this short note we have given an equation based on the date 11.09.2001 and presented some magic squares. The magic squares presented are of order 3x3, 4x4, 5x5, 9x9, 16x16 and 25x25. While the magic square of higher order 9x9, 16x16 and 25x25 are bimagic. These magic squares are based on the digits, 1-6-9, 0-1-2, 0-1-2-9 and 0-1-2-6-9. The interesting fact in all these magic squares is that if we gave them a rotation of 180 degrees, they remain again the magic squares. In order to have this rotation, we have used the numbers in digital forms. Moreover, the day of submission of this work (20.10.2010) has only the digits 0, 1 and 2. Using only these three digits, we have presented magic squares of order 3x3 and 9x9.

研究の動機と目的

• 日付 11.09.2001 の数学的驚きとその数的対称性を、数字のデジタル形式を用いて探求すること。
• 180度回転させても有効な魔方陣を構築することに焦点を当て、{1,6,9} および {0,1,2} の数字集合を用いること。
• これらの性質を、両方の和および二乗和が180度回転によっても不変である「双魔方陣」に拡張し、高次の魔方陣を構築すること。
• 9×9、16×16、25×25 の高次の逆さま双魔方陣の、これまでにない初の例を提示すること。
• S1 および S2 の値が異なる数字の組み合わせや魔方陣のサイズにおいても一貫して保たれることを示すこと。

提案手法

• 180度回転対称性を確保できるように、0, 1, 2, 6, 9 の数字のみをデジタル形式で使用して魔方陣を構築すること。
• 各行、各列、各対角線の和が同じ値 S1 になるように、3×3、4×4、9×9、16×16、25×25 の行列を構成すること。
• 各行列の要素の二乗和が各行、各列、各対角線で S2 に等しくなるように、双魔方陣の性質を確認すること。
• 3桁、4桁、5桁の数の組み合わせを用いて、大きな行列（例：3×3の3桁の数のブロックからなる9×9行列）を埋めること。
• 回転後の数字（例：6→9、9→6、1→1、0→0、2→2）を確認し、S1 および S2 が180度回転によっても変化しないことを検証すること。
• デジタル形式の対称性を活用し、回転後も全体として有効な魔方陣または双魔方陣のままであることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の数字のみをデジタル形式で使用して、180度回転させても双魔方陣の性質を保つ双魔方陣を構築できるか？
• RQ2 9×9、16×16、25×25 の逆さま双魔方陣の S1 および S2 の具体的な値は、{1,6,9}、{0,1,2}、{0,1,2,6,9} の数字集合から構築された場合にそれぞれどのように定まるか？
• RQ3 増加する数字集合から構築された異なるサイズの双魔方陣の S1 値間に、一貫した数学的関係が存在するか？
• RQ4 異なる数字集合とブロック構造を用いても、9×9 および 16×16 の双魔方陣で同じ S1 値（53328）を達成できるか？
• RQ5 25×25 の逆さま双魔方陣には、パンディアゴナル性などの追加の性質が見られるか？

主な発見

• 数字集合 {1,6,9} を用いた 9×9 の逆さま双魔方陣では、S1 = 53328、S2 = 414976074 であり、各 3×3 ブロックの和は 53328、二乗和は 414976074 である。
• 数字集合 {0,1,2} を用いた 9×9 の逆さま双魔方陣では、S1 = 9999、S2 = 17169395 であり、各 3×3 ブロックの和は 9999、二乗和は 17169395 である。
• 数字集合 {0,1,2,9} を用いた 16×16 の逆さま双魔方陣では、S1 = 53328、S2 = 379762424 であり、各 4×4 ブロックの和は 53328、二乗和は 379762424 である。
• 数字集合 {0,1,2,6,9} を用いた 25×25 の逆さま双魔方陣では、S1 = 99990、S2 = 688808890 であり、各 5×5 ブロックの和は 99990、二乗和は 688808890 である。
• S1 値 53328 は、異なる数字集合とブロック構造を持つにもかかわらず、9×9 および 16×16 の双魔方陣の両方で共通して達成されている。
• 25×25 の双魔方陣はパンディアゴナル性を示しており、回転対称性に加え、追加の対称性の層が存在することが示された。