[論文レビュー] Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory

Joel David Hamkins|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ZFCの可算な素直なモデルの一般化多重宇宙における上向き閉包と統合可能性を調査する。いくつかの強制拡張（例えばコーエン実数の追加）は統合できないが、コーエン実数拡張の鎖は常に単一のコーエン実数拡張によって上に有界であることが示され、このクラスの強制に対して上向き可算閉包が成立することが立証される。主な結果は、任意の可算なコーエン実数拡張の塔は、単一の $W$-一般コーエン実数拡張の形で上界を持つことである。

ABSTRACT

I prove several theorems concerning upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable transitive model of set theory. Every such model $W$ has forcing extensions $W[c]$ and $W[d]$ by adding a Cohen real, which cannot be amalgamated in any further extension, but some nontrivial forcing notions have all their extensions amalgamable. An increasing chain $W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$ has an upper bound $W[H]$ if and only if the forcing had uniformly bounded essential size in $W$. Every chain $W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$ of extensions adding Cohen reals is bounded above by $W[d]$ for some $W$-generic Cohen real $d$.

研究の動機と目的

• 一般化多重宇宙における強制拡張が共通の拡張に統合可能かどうかを調査すること。
• 増加する強制拡張の鎖が上界を持つ条件を特定すること。
• 閉包性および有向性の性質に関して、一般化多重宇宙の構造を明確にすること。
• コーエン実数拡張の上向き閉包性および統合可能性の観点から、その挙動を分析すること。

提案手法

• 可算な $W[c_n]$ 拡張の塔の各実数の有限回のビット変更により、新たな $W$-一般コーエン実数 $d$ を構成する。
• $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ を用いて $\omega$ 個のコーエン実数を追加し、これは単一のコーエン実数を追加することと同型であることを用いる。
• 強制順序集合のすべての $G_\delta$ 稠密部分集合を列挙し、構成された実数 $d$ の一般性を保証する。
• 対角線的構成を適用し、各段階での実数 $d_n$ が稠密集合 $D_n$ の条件と整合的であることを保証する。
• $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ を $\mathop{\rm Add}(\omega,n) \times \mathop{\rm Add}(\omega,[n,\omega))$ に分解し、各段階での整合性を管理する。
• 得られた実数 $d = \oplus_n d_n$ が $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ に対して $W$-一般であることを示し、したがって $W[d]$ は単一のコーエン実数による強制拡張である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーエン実数を追加する二つの強制拡張 $W[c]$ と $W[d]$ は、共通の拡張 $W[e]$ に統合可能か？
• RQ2 増加する可算鎖 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$ が一般化多重宇宙内で上界を持つ条件は何か？
• RQ3 $W$-一般コーエン実数拡張の集合は上向き可算閉包性を満たすか？
• RQ4 すべての強制ノーションはその拡張を統合可能か、あるいは例外はあるか？
• RQ5 一般化多重宇宙における包含関係は強制拡張関係と一致するか？

主な発見

• 任意の可算な $W$-一般コーエン実数拡張の塔 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$ は、ある $W$-一般コーエン実数 $d$ に対して上界 $W[d]$ を持つ。これは上向き可算閉包性を立証する。
• 上界 $W[d]$ は各 $c_n$ を有限回変更して得られる実数 $d = \oplus_n d_n$ を用いて構成され、これは $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$ に対して $W$-一般である。これは単一のコーエン実数を追加することと同型である。
• この構成により、すべての $n$ に対して $W[c_n] \subseteq W[d]$ であり、$d$ は $W$-一般であるため、$W[d]$ は単一のコーエン実数による強制拡張である。
• すべての強制拡張が統合可能というわけではない。例えば、二つのコーエン実数拡張は共通のさらに先の拡張を持たないことがある。
• 強制ノーションが $W$ 内で一様に有界な本質的サイズを持つ場合に限り、強制拡張の鎖は上界を持つ。これはコーエン実数の結果を一般化する。
• 構成された実数 $d$ は $W$-一般であるだけでなく、すべての $n$ に対して $W[c_n]$-一般であることも示され、強い一般性の保存性が示される。