[論文レビュー] Urod algebras and Translation of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Thomas Creutzig+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単純根系を持つリー代数に対してUrod代数を導入し、量子Drinfeld-Sokolov還元が可積分なアフィン頂点代数とのテンソル積と可換であることを示すことで、W代数に対する翻訳関手を確立する。主な結果は頂点代数の同型 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $ であり、これにより例外的W代数の融合カテゴリの構成が可能となり、$\mathbb{CP}^2$ 上のランク-$n$ フレームドねじれなし層のNakajima-Yoshioka吹き出し方程式の表現論的解釈が得られる。

ABSTRACT

In this work, we introduce Urod algebras associated to simply-laced Lie algebras as well as the concept of translation of W-algebras. Both results are achieved by showing that the quantum Hamiltonian reduction commutes with tensoring with integrable representations, that is, for $V$ and $L$ an affine vertex algebra and an integrable affine vertex algebra associated with $\mathfrak{g}$, we have the vertex algebra isomorphism $H_{DS,f}^0(V\otimes L)\cong H_{DS,f}^0(V)\otimes L$, where in the left-hand-side the Drinfeld-Sokolov reduction is taken with respect to the diagonal action of $\widehat{\mathfrak{g}}$ on $V\otimes L$. The proof is based on some new constructionof automorphisms of vertex algebras, which may be of independent interest. As corollaries we get fusion categories of modules of many exceptional W-algebras and we can construct various corner vertex algebras. A major motivation for this work is that Urod algebras of type $A$ provide a representation theoretic interpretation of the celebrated Nakajima-Yoshioka blowup equations for the moduli space of framed torsion free sheaves on $\mathbb{CP}^2$ of an arbitrary rank.

研究の動機と目的

• 任意のランクにおける単純根系を持つリー代数に対するUrod代数の体系的枠組みを確立し、ランク2の場合の先行結果を一般化する。
• アフィンKac-Moody代数の可積分表現を用いてW代数に対する翻訳関手を開発する。
• 量子Drinfeld-Sokolov還元が可積分モジュールとのテンソル積と可換であることを証明し、新たな頂点代数およびモジュールの構成を可能にする。
• $\mathbb{CP}^2$ 上のフレームドねじれなし層のNakajima-Yoshioka吹き出し方程式を任意ランクで表現論的に解釈する。
• 角頂点代数を構成し、還元同型を通じてW代数モジュールのテンソルカテゴリ構造を確立する。

提案手法

• 新しい頂点代数の自己同型の構成を通じて、量子化されたDrinfeld-Sokolov還元が可積分なアフィン頂点代数 $L_{\ell}(\mathfrak{g})$ とのテンソル積と可換であることを証明する。
• 同型 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $ を用いて、W代数モジュール圏上の翻訳関手 $ T_L $ を定義する。
• Frobeniusの随伴性および表現論的道具を用いて、誘導された関手が完全かつテンソル構造を保存することを検証する。
• BRSTコホモロジーの同型 $ H_{DS,f}^{\bullet}(M\otimes N) \cong H_{DS,f}^{\bullet}(M)\otimes N $ を、$V$-モジュール $M$ および $\mathbb{L}_\ell(\mathfrak{g})$-モジュール $N$ に対して用いる。
• 還元同型から生じる特定の自己同型の固定点部分代数として角頂点代数を構成する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合に結果を適用し、AGT対応を通じてNakajima-Yoshioka吹き出し方程式を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純根系を持つリー代数に対して、ランク2を超える任意ランクへのUrod代数の一般化はどのように可能か？
• RQ2 可積分表現によって誘導されるW代数モジュール圏上の翻訳関手 $ T_L $ の構造は何か？
• RQ3 量子Drinfeld-Sokolov還元は可積分なアフィン頂点代数とのテンソル積と可換か？
• RQ4 還元同型 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $ は、例外的W代数の融合カテゴリの構成にどのように寄与するか？
• RQ5 $\mathbb{CP}^2$ 上のランク-$n$ フレームドねじれなし層のNakajima-Yoshioka吹き出し方程式は、W代数の表現論によって解釈可能か？

主な発見

• 量子Drinfeld-Sokolov還元は可積分なアフィン頂点代数とのテンソル積と可換であり、$V^k(\mathfrak{g})$ の商 $V$ に対して同型 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $ を得る。
• この同型により、翻訳関手 $ T_L: \mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} \to \mathscr{W}^{k+\ell}(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} $, $ M \mapsto M\otimes L $ が定義され、これは完全かつモジュール構造を保存する。
• この構成により、多くの例外的W代数のモジュールの融合カテゴリが得られ、Deligne積および誘導されたテンソル関手の全忠実性によって示される。
• 角頂点代数は、還元同型から生じる自己同型の固定点部分代数として構成される。
• タイプ $A_n$ のUrod代数は、任意ランクにおける$\mathbb{CP}^2$ 上のフレームドねじれなし層のNakajima-Yoshioka吹き出し方程式の表現論的解釈を提供する。
• 一般レベルにおける頂点テンソルカテゴリ構造の仮定のもと、完成化および拡張理論を用いて結果が一般レベルへ拡張可能であり、より広範な適用可能性を示唆する。