[論文レビュー] Use of a Quantum Computer to do Importance and Metropolis-Hastings Sampling of a Classical Bayesian Network

Robert R. Tucci|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子コンピュータを用いて古典的ベイジアンネットワークにおける重要度サンプリングおよびメトロポリス・ハスティングスサンプリングを実行するための量子アルゴリズムを提案する。古典的ベイジアンネットワークを量子ベイジアンネットワーク（QB ネット）にマッピングする量子埋め込み技術を活用することで、量子回路による効率的サンプリングが可能となり、詳細釣合の理論的保証および目的分布への収束が得られる。

ABSTRACT

Importance sampling and Metropolis-Hastings sampling (of which Gibbs sampling is a special case) are two methods commonly used to sample multi-variate probability distributions (that is, Bayesian networks). Heretofore, the sampling of Bayesian networks has been done on a conventional "classical computer". In this paper, we propose methods for doing importance sampling and Metropolis-Hastings sampling of a classical Bayesian network on a quantum computer.

研究の動機と目的

• 拒否法や尤度重み付けにとどまらない、一般化された重要度サンプリングを含む、古典的ベイジアンネットワークにおける既存の量子サンプリング手法の拡張。
• 古典的ベイジアンネットワークにおけるメトロポリス・ハスティングスサンプリング（Gibbs サンプリングを含む特別な場合）を実行するための量子アルゴリズムの開発。
• 量子ベイジアンネットワーク（QB ネット）を用いた、古典的確率的推論を量子ハードウェアでシミュレートするフレームワークの構築。
• 提案された量子サンプリング手法が詳細釣合を保持し、正しい目的分布に収束することの保証。
• 参考文献[5]の結果を一般化するため、参考文献[4]の埋め込み技術をより広いクラスのサンプリングアルゴリズムに適用すること。

提案手法

• 古典的ベイジアンネットワーク（CB ネット）を量子ベイジアンネットワーク（QB ネット）にマッピングするための量子埋め込み技術を用い、古典的確率的モデルの量子シミュレーションを可能にする。
• 提案分布に対応する重ね合わせ状態を準備し、アモニチュード増幅の原理を用いて、量子回路による重要度サンプリングを実装する。
• ベイジアンネットワーク内の条件付き確率遷移をシミュレートするために、制御量子ゲート（例：CNOT、Toffoli）および単一キュービット操作を適用する。
• 提案分布 Q(yi|xt) と受容確率 αi = min(1, F(xt_i ← yi)/F(yi ← xt_i)) を用いた量子メトロポリス・ハスティングスアルゴリズムを設計する。ここで F は確率フラックスを表す。
• 古典的変数状態をキュービット状態にエンコードするために射影演算子 P_a とパウリ行列を用い、結合状態空間におけるユニタリ発展を可能にする。
• 量子状態における確率的更新ルールを実装する：確率 αi で xt+1_i = yi に更新され、それ以外は xt+1_i = xt_i のままとなる。これは制御回転と測定を用いて実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子回路ベースの手法を用いて、古典的ベイジアンネットワークの重要度サンプリングを量子コンピュータ上で効率的に実装できるか。
• RQ2 Gibbs サンプリングを含むメトロポリス・ハスティングスアルゴリズムを、詳細釣合を保持する形で量子コンピュータ上で適応可能か。
• RQ3 量子ベイジアンネットワーク（QB ネット）埋め込みが、古典的確率的グラフィカルモデルの量子シミュレーションを可能にする役割は何か。
• RQ4 量子回路はどのようにして、マルコフ連鎖の定常分布が古典的ベイジアンネットワークの目的事後分布と一致することを保証するか。
• RQ5 量子メトロポリス・ハスティングスサンプリングにおける受容確率と状態遷移ルールの量子回路実装は何か。

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、拒否法や尤度重み付けにとどまらず、すべての形式の重要度サンプリングを含む、既存の量子サンプリング手法を成功裏に一般化した。
• 量子メトロポリス・ハスティングスアルゴリズムは詳細釣合を保持しており、マルコフ連鎖モンテカルロ理論が要請するように、正しい目的分布 P(x) に収束することが保証された。
• 受容確率 αi は min(1, F(xt_i ← yi)/F(yi ← xt_i)) として定義され、F は確率フラックスを表す。これにより、アルゴリズムが有効な確率過程の範囲内に保たれる。
• 量子制御遷移の繰り返し適用により、目的分布への収束が達成され、新しい状態を受け入れる確率は、前向きと逆向きのフラックス比に比例する。
• 提案分布 Q(yi|xt) の選択にかかわらずアルゴリズムは頑健であり、Q が非対称であっても詳細釣合を維持する。
• 2つの例（2体散乱とアジアネットワーク）の量子回路を用いた実装により、既存の量子ハードウェアでも実装可能であることが示された。