[論文レビュー] Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles

Alexander Lange, Stanisław Radziszowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、エッジ・フォルクマン数 $F_e(3,3;4)$ の上界を改善し、これは任意の2色エッジ彩色において単色三角形を強制する $K_4$-フリーなグラフの最小次数である。修正された巡回グラフ $G_{786}$ を構築し、MAX-CUT の半定値計画法緩和（Goemans-Williamsonアルゴリズム）を適用することで、著者らは $F_e(3,3;4) \leq 786$ を証明し、以前の最良上界 941 よりも低くした。

ABSTRACT

In 1967, Erdős and Hajnal asked the question: Does there exist a $K_4$-free graph that is not the union of two triangle-free graphs? Finding such a graph involves solving a special case of the classical Ramsey arrowing operation. Folkman proved the existence of these graphs in 1970, and they are now called Folkman graphs. Erdős offered \$100 for deciding if one exists with less than $10^{10}$ vertices. This problem remained open until 1988 when Spencer, in a seminal paper using probabilistic techniques, proved the existence of a Folkman graph of order $3 imes 10^9$ (after an erratum), without explicitly constructing it. In 2008, Dudek and Rödl developed a strategy to construct new Folkman graphs by approximating the maximum cut of a related graph, and used it to improve the upper bound to 941. We improve this bound first to 860 using their approximation technique and then further to 786 with the MAX-CUT semidefinite programming relaxation as used in the Goemans-Williamson algorithm.

研究の動機と目的

• エッジ・フォルクマン数 $F_e(3,3;4)$ の上界を改善すること。これは、任意の2色エッジ彩色において単色三角形を強制する $K_4$-フリーなグラフの最小次数として定義される。
• 1975年にエドーシが提示した長年の未解決問題に取り組むこと。彼は $F_e(3,3;4) < 10^{10}$ を証明する者に100ドルを提供したが、後にグラハムは $F_e(3,3;4) < 100$ を証明する者に100ドルを提供した。
• DudekとRödl（2008年）が導入したMAX-CUT近似法を拡張・精緻化し、半定値計画法を用いてより鋭い境界を得ること。
• $K_4$-フリーで、$G \rightarrow (3,3)$ を満たす次数786のグラフの構成的証明を提供することにより、新たな上界を確立すること。

提案手法

• 候補となるグラフ $G$ から、$H_G$ を構築し、$H_G$ の最大カットサイズが $G \rightarrow (3,3)$ を満たすかどうかを決定する。
• Goemans-Williamson の半定値計画法緩和を用いて、$H_G$ のMAX-CUTサイズの上界を計算し、スペクトル境界よりも鋭い境界を得る。
• SpeeDPアルゴリズムを用いて、$L(785,53)$ やその修正版 $G_{786}$ を含む候補グラフ $G$ について、$MC(H_G)$ の高精度な境界を計算する。
• 巡回グラフ $L(785,53)$ を、60個の特定の頂点に接続する1つの頂点を追加することで修正し、MAX-CUTの上界を $2t_\triangle(G)$（$G$ の三角形数）未満に低下させる。
• もし $MC(H_G) < 2t_\triangle(G)$ であれば、$G \rightarrow (3,3)$ が成り立つことを利用し、MAX-CUT法によりラマセー矢印条件を証明する。
• スペクトル境界とSDPソルバー（SDPLR-MC および SBmethod）を用いて、MAX-CUTの上界を計算・検証し、SpeeDPが $MC(H_{G_{786}})$ に対して $857742$ のより鋭い下界を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MAX-CUT の半定値計画法緩和を用いて、941未満の次数の $K_4$-フリーなグラフを構築し、任意の2色エッジ彩色において単色三角形を強制できるか。
• RQ2 巡回グラフの体系的修正とMAX-CUT近似を用いて、$F_e(3,3;4)$ の上界を、以前の最良値941を超えて改善できるか。
• RQ3 $L(785,53)$ から派生する修正グラフ $G_{786}$ は $G_{786} \rightarrow (3,3)$ を満たすか。これにより $F_e(3,3;4) \leq 786$ が証明される。
• RQ4 ラマセー矢印問題の文脈において、SDP緩和法がスペクトル法よりもMAX-CUTに対して鋭い境界を与えるか。
• RQ5 任意の2色エッジ彩色において単色三角形を強制する $K_4$-フリーなグラフの最小次数は何か。そして、これは構成的に計算可能か。

主な発見

• 著者らは、$K_4$-フリーで、$G_{786} \rightarrow (3,3)$ を満たす次数786のグラフ $G_{786}$ を構築し、$F_e(3,3;4) \leq 786$ を証明した。
• MAX-CUT のSDP緩和により、$MC(H_{G_{786}})$ の上界が 857753 に得られ、これは $2t_\triangle(G_{786}) = 857762$ よりも厳密に小さいため、矢印条件が確認された。
• SpeeDPの計算により、$857742 \leq MC(H_{G_{786}})$ の精密な下界が得られ、最大カットサイズが三角形数の2倍未満であることが確認された。
• 修正グラフ $G_{786}$ は61,290本の辺と428,881個の三角形を持ち、1つの頂点を60個の頂点に接続することで追加しても $K_4$-フリーのまま保たれる。
• $L(785,53)$ と $G_{786}$ について、SDPの境界はスペクトル境界と一致するが、一般にSDP緩和はスペクトル境界よりも鋭いことが、この状況で示された。
• 本研究により、$F_e(3,3;4)$ の上界は、Dudek-Rödl（2008年）の941から786にまで低下し、最小フォルクマングラフの探索において顕著な進展が達成された。