[論文レビュー] Using an implicit function to prove common fixed point theorems

Mohammad Imdad, Rqeeb Gubran+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、順序付き距離空間における一般的な不動点定理を統一的かつ一般化する、新しい暗黙関数フレームワークを導入する。これは、Ćirićの準収縮結果を非線形的・順序論的設定へと拡張するものである。一般化された収縮条件の下で共通不動点の存在と一意性を証明し、T-S列が不動点に収束することを示し、度々の結果を距離空間において鋭くしたバージョンを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we prove common fixed point results for a self-mappings satisfying an implicit function which is general enough to cover a multitude of known as well as unknown contractions. Our results modify, unify, extend and generalize many relevant results of the existing literature. Interestingly, unlike several other cases, our main results deduce a nonlinear order-theoretic version of a well-known fixed point theorem (proved for quasi-contraction) due to Ćirić (Proc. Amer. Math. Soc. (54) 267-273, 1974). Finally, in the setting of metric spaces, we drive a sharpened version of Theorem 1 due to Berinde and Vetro (Fixed Point Theory Appl. 2012:105).

研究の動機と目的

• 固定点理論における既知および未知の収縮条件の広範なクラスを、1つの暗黙関数によって統一的かつ一般化すること。
• 暗黙関数アプローチを用いて、Ćirićの古典的準収縮不動点定理を順序論的・非線形的設定へと拡張すること。
• BerindeとVetro（2012）が提示した誤った順序論的結果を是正・精錬し、距離空間における鋭く正しいバージョンを提供すること。
• 自己写像の対が一意な共通不動点を持つための条件を確立すること。特に、T-S列の収束を含む。
• 新たな正則性および適合性条件（例：I-正則性、O-適合性）を導入することで、既存の結果を一般化・拡張すること。

提案手法

• 複数の収縮型（準収縮、比較関数に基づく収縮など）を包含する一般化された暗黙関数 $ F \in \mathfrak{F} $ を定義する。
• 順序論的構造を扱うために、$ S $-増加／減少写像、$ T $-$ S $-列、$ (T,S) $-有向集合といった新しい概念を導入する。
• $ \overline{\rm O} $-適合性、$ \underline{\rm O} $-適合性、弱適合性を用いて、不動点の収束性と一意性を保証する。
• $ I $-正則性および$ D $-正則性条件を適用し、$ T $-$ S $-列の極限が適切な集合内にあることを保証する。
• 暗黙不等式 $ F(d(Tx,Ty), d(Sx,Sy), \dots) \leq 0 $ が一致点の存在を示すフレームワークを構築する。
• 弱適合性および有向性条件の下で、$ T $-$ S $-列が一意な共通不動点に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの暗黙関数フレームワークが、共通不動点理論における広範な既知の収縮条件を統一的かつ一般化できるか？
• RQ2 暗黙関数アプローチを用いて、Ćirićの準収縮不動点定理を順序論的・非線形的設定へと拡張できるか？
• RQ3 順序付き距離空間における共通不動点の存在と一意性を保証するための最小限の条件（例：正則性、適合性、有向性）は何か？
• RQ4 BerindeとVetro（2012）の一致点に関する結果を、距離空間の文脈でどのように是正・鋭くできるか？
• RQ5 $ T $-$ S $-列が一意な共通不動点に収束するための条件は何か？

主な発見

• 提案された暗黙関数フレームワークは、準収縮や比較関数に基づく収縮を含む多数の既知の収縮条件を一般化する。
• 非線形的順序論的設定におけるĆirićの不動点定理のバージョンが確立され、$ S $-単調写像を伴う順序付き距離空間へと拡張される。
• BerindeとVetro（2012）の順序論的結果における誤りを是正し、距離空間における定理1の有効で鋭いバージョンを提供する。
• 弱適合性および$ (T,S) $-有向性（または全順序）の下で、対$ (T,S) $は一意な共通不動点を持つ。
• 任意の初期点$ x_0 $に対して、$ T $-$ S $-列$ \{Tx_n\} $は一意な共通不動点に収束する。
• 反例により、線形形式の収縮（$ k \geq 1/2 $）が失敗することが示され、比較関数を用いた非線形形式が不可欠であり、線形形式に置き換えられないことが証明される。