[論文レビュー] Using D-operators to construct orthogonal polynomials satisfying higher order q-difference equations

R. Álvarez-Nodarse, Antonio J. Durán|Deposito de Investigacion Universidad de Sevilla (University of Seville)|Sep 12, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、q-Meixnerおよびq-Laguerre多項式を線形結合により変更することで、係数列(βₙ)を用いてq-Krall多項式—高階q差分作用素の固有関数である直交多項式—を構成する、D作用素を用いた新規手法を提案する。主な貢献は、Christoffel変換によって得られる直交測度を用いて、2k+2または2α+2階のq差分作用素の固有関数を系統的に構成することである。

ABSTRACT

Let $(p_n)_n$ be either the $q$-Meixner or the $q$-Laguerre polynomials. We form a new sequence of polynomials $(q_n)_n$ by considering a linear combination of two consecutive $p_n$: $q_n=p_n+β_np_{n-1}$, $β_n\in \RR$. Using the concept of $\D$-operator, we generate sequences $(β_n)_n$ for which the polynomials $(q_n)_n$ are orthogonal with respect to a measure and common eigenfunctions of a higher order $q$-difference operator.

研究の動機と目的

• q差分設定におけるKrall多項式の理論を拡張し、古典的q直交多項式からq-Krall多項式を構成すること。
• 高階q差分作用素の共通固有関数である直交多項式を生成するという未解決問題に取り組み、Krallの古典的問題のqアナロジーを達成すること。
• D作用素を用いた体系的な手法を開発し、(βₙ)の系列を生成することで、qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁が直交し、高階q差分作用素の固有関数となるようにすること。
• 得られた直交測度が、元のq-Meixnerおよびq-Laguerre測度のChristoffel変換として特徴づけられ、多項式因子とディラックデルタを含むこと。

提案手法

• q古典的多項式（q-Meixnerまたはq-Laguerre）および有限階q差分作用素の代数A_qに関連するD作用素を定義する。
• D作用素を用いて、qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁（ただしp₋₁ = 0）が変換測度に関して直交するように係数列(βₙ)を生成する。
• 直交測度をChristoffel変換として構成する：μ = w(x)ρ、ここでρは元のq-Meixnerまたはq-Laguerre測度であり、w(x)は多項式因子である。
• q-Meixnerの場合、3つの異なるD作用素が3つの異なる(βₙ)系列を生成し、それぞれが異なる測度に関して直交するqₙを生成する。
• q-Laguerreの場合、Al-Salam-Carlitz多項式と0におけるディラックデルタを含むモーメント関数を用い、γₙ = vₖ¹ᐟqᵃ;𝑞(qⁿ)およびβₙ = γₙ₊₁/γₙによりβₙを定義する。
• D作用素の構造を用いて固有値方程式を検証することで、得られた多項式qₙが2k+2階（q-Meixnerの場合）または2α+2階（q-Laguerreの場合）のq差分作用素の固有関数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D作用素を用いて、高階q差分作用素の固有関数であるq-Krall多項式を体系的に生成できるか？
• RQ2 係数列(βₙ)にどのような条件を課すと、変更された多項式qₙ = pₙ + βₙpₙ₋₁が変換測度に関して直交するようになるか？
• RQ3 得られた直交測度は元のq-Meixnerおよびq-Laguerre測度とどのように関係しており、多項式因子とディラックデルタは果たす役割は何か？
• RQ4 構成されたqₙが固有関数であるq差分作用素の正確な階数は何か？パrameter kやαに依存するか？
• RQ5 この手法は他のq古典的族へ一般化可能か？このような構成における係数列(βₙ)の構造的制約は何か？

主な発見

• q-Meixner多項式の場合、3つの異なるD作用素が3つの異なる(βₙ)系列を生成し、それぞれが2k+2階のq差分作用素の固有関数である直交多項式（qₙ）を生成する。
• qₙの直交測度はq-Meixner測度のChristoffel変換であり、具体的にはμ = w(x)ρ、ここでw(x)は次数kの多項式である。
• αが正の整数であるq-Laguerre多項式の場合、構成により直交多項式（qₙ）が得られ、(2α+2)階のq差分作用素の固有関数である。
• 係数列βₙはβₙ = -γₙ₊₁ / [(1 - q^{α+n})γₙ]により明示的に定義され、ここでγₙ = 1 + M(q^{α+1};q)ₙ / (q;q)ₙであり、測度μ = Mδ₀ + ρ_{α-1}^qに関して直交性が保証される。
• この手法により、構成されたq-Krall多項式が高階q差分作用素の固有関数であることが確認され、GrünbaumとHaineの先行結果が一般化される。
• 予想では、任意の有限集合Fの正の整数について、測度∏_{f∈F}(1 + xq^f)ρ_α^qがq-Krall多項式を生成し、2∑f∈F f - n_F(n_F - 1) + 2階のq差分作用素の固有関数となる。