[論文レビュー] Using evolutionary computation to create vectorial Boolean functions with low differential uniformity and high nonlinearity

James McLaughlin, John A. Clark|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

この論文では、模擬的冷却法、メタヒューティックアルゴリズム、および蟻巣最適化を用いて、低い微分均一性と高い非線形性を有するベクトル型ブール関数（Sボックス）を進化させることを目的としている。暗号的セキュリティのための重要な基準である。アンチシステムが他のメタヒューティック手法を上回り、5×5関数において68％のSボックスが微分均一性2を達成し、理論的限界と一致した。

ABSTRACT

The two most important criteria for vectorial Boolean functions used as S-boxes in block ciphers are differential uniformity and nonlinearity. Previous work in this field has focused only on nonlinearity and a different criterion, autocorrelation. In this paper, we describe the results of experiments in using simulated annealing, memetic algorithms, and ant colony optimisation to create vectorial Boolean functions with low differential uniformity. Keywords: Metaheuristics, simulated annealing, memetic algorithms, ant colony optimization, cryptography, Boolean functions, vectorial Boolean functions.

研究の動機と目的

• 最適な微分均一性と非線形性を有するSボックスを構築するためのメタヒューティックアルゴリズムの開発と評価を行う。
• 進化計算がブロック暗号におけるSボックス設計の理論的限界に達するか、それを上回ることを可能にするかを調査する。
• このNP困難な組合せ最適化問題において、模擬的冷却法、メタヒューティックアルゴリズム、および蟻巣最適化の有効性を比較する。
• 収束速度と解の品質を向上させるためのパラメータチューニングおよびコスト関数設計を検討する。
• Sボックスのサイズが大きくなる（n ≥ 6）場合に、これらの手法がスケーラブルであるかを評価する。その際、探索空間の爆発的増加が生じる。

提案手法

• 微分均一性と非線形性の両方を最適化するためのフィットネス関数を用いた模擬的冷却法を採用。まず線形近似表における0からのずれを最小化し、その後勾配上昇法により非線形性を最適化した。
• 独自の交差関数を用い、突然変異を実施しないメタヒューティックアルゴリズムを採用。グローバル探索後に局所探索による精錬に焦点を当てた。
• アンチシステムおよびLuke ACS（蟻巣最適化）を適用。フェロモン更新ルールと、微分均一性および非線形性に基づくヒューリスティック情報を利用した。
• 動的コスト関数を定義。Sボックスの真理値表におけるエッジを、部分解に基づいて評価し、均一性と非線形性への累積的影響を調整した。
• 主な変数のパラメータチューニングを実施：模擬的冷却法における冷却率、メタヒューティックアルゴリズムにおける交差率および突然変異率、蟻アルゴリズムにおけるフェロモン揮発率ρ = 0.1。
• 探索空間の縮小のため、Sボックス出力値を定理1.21に基づいて制限したが、性能劣化のため後続の実験では放棄された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メタヒューティック探索は、微分均一性2で高い非線形性を有するSボックスについて、最高の理論的結果に一致できるか？
• RQ2 模擬的冷却法、メタヒューティックアルゴリズム、または蟻巣最適化の中で、Sボックス構築問題において最も優れた性能を示すのはどれか？
• RQ3 異なるコスト関数およびパラメータ設定は、収束速度と解の品質にどのように影響するか？
• RQ4 定理1.21を用いた真理値表の制約を課すことで、探索効率と解の品質が向上するか？
• RQ5 微分均一性が低い部分関数を用いた分割統治的アプローチは、より優れた全体のSボックス構築に繋がるか？

主な発見

• アンチシステムは5×5関数において68％のSボックスが微分均一性2を達成し、メタヒューティックアルゴリズムおよび模擬的冷却法を上回った。
• アンチシステムはわずか19時間以上で解を発見したが、最良のメタヒューティックアルゴリズム実行は34時間かかった。
• まず線形近似表を平坦化し、その後非線形性を最大化する二段階コスト関数の使用により、解の品質が著しく向上した。
• 定理1.21に基づくSボックス出力の制限は、すべてのメタヒューティック手法において性能を劣化させ、後続の実験では放棄された。
• n ≥ 6の場合、いかなる手法でも微分均一性2に到達できず、探索空間の指数的増加が現在のアプローチの限界を示した。
• Luke ACSとアンチシステムは類似した性能トレンドを示したが、すべてのパラメータセットにおいてアンチシステムが一貫してLuke ACSを上回った。