[論文レビュー] Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions

Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、組合せ論におけるグラスマン計算の新しい応用を提示し、リンズトローム＝ゲッセル＝ヴィエノの補題およびジャコビ＝トゥルディの恒等式の新しい証明を提供する。反交換変数とグラスマン積分表現を用いて、1パラメータ拡張されたシュール多項式を定義し、畳み込み恒等式を満たす。古典的対称関数論を一般化する。

ABSTRACT

Grassmann (or anti-commuting) variables are extensively used in theoretical physics. In this paper we use Grassmann variable calculus to give new proofs of celebrated combinatorial identities such as the Lindström-Gessel-Viennot formula for graphs with cycles and the Jacobi-Trudi identity. Moreover, we define a one parameter extension of Schur polynomials that obey a natural convolution identity.

研究の動機と目的

• グラスマン計算を用いて、リンズトローム＝ゲッセル＝ヴィエノの補題やジャコビ＝トゥルディの恒等式といった基本的な組合せ的恒等式の新しい証明を導出すること。
• グラスマン積分表現に基づく1パラメータ拡張を用いてシュール多項式を一般化すること。
• 拡張されたシュール多項式に対して畳み込み恒等式を確立し、シュール関数の古典的積則を一般化すること。
• パス数え上げ的解釈がパラメータ化された場合に自然に拡張されることを示し、パスの交差による符号付き寄与を考慮すること。

提案手法

• 反交換関係 $\chi_i\chi_j = -\chi_j\chi_i$ および $\chi_i^2 = 0$ を満たすグラスマン変数を用い、組合せ的パス数え上げにおけるフェルミ統計をモデル化する。
• グラスマンガウス積分を用いて行列式や小行列式を表現し、$\det M = \int d\bar{\chi}d\chi \, \exp\left(-\sum_{i,j} \bar{\chi}_i M_{ij} \chi_j\right)$ を含む。
• 生成関数 $U^a(x) = \prod_{m=1}^n (1 - x_m T)^{-a}$ を定義し、$T$ における展開により一般化されたシュール多項式 $S_k(a,x)$ を生成する。
• 水平辺に $a(a-1)\cdots(a-k+1)/k!$ を含む重みを持つグリッド上の重み付きパスモデルを構築する。
• カウチ＝ビネの公式を用いて $s_{\lambda/\mu}(a,x)$ の行列式表現を展開し、畳み込み恒等式の導出を可能にする。
• 恒等式 $U^a(x)U^b(x) = U^{a+b}(x)$ を用いて畳み込み則 $s_{\lambda/\mu}(a+b,x) = \sum_{\nu} s_{\lambda/\nu}(a,x)s_{\nu/\mu}(b,x)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマン計算は、対合や符号反転対合を必要とせず、リンズトローム＝ゲッセル＝ヴィエノの補題を統一的かつ初等的に証明できるか？
• RQ2 グラスマン積分技法と反交換変数を用いて、ジャコビ＝トゥルディの恒等式を再導出できるか？
• RQ3 組合せ的構造を保ちながら畳み込み恒等式を満たす自然な1パラメータ拡張されたシュール多項式は何か？
• RQ4 一般化されたシュール関数展開におけるパス寄与は、非交差パスおよび終点の置換をどのように扱うか？

主な発見

• 反交換性により交差するパスの寄与が自然に消えるため、グラスマン計算を用いてリンズトローム＝ゲッセル＝ヴィエノの補題が再証明された。
• 基本対称関数のグラスマン積分表現を用いてジャコビ＝トゥルディの恒等式が導出され、パラメータ化された場合に一般化された。
• 1パラメータ拡張されたシュール多項式 $s_{\lambda/\mu}(a,x)$ は $\det\big(S_{\lambda_j - \mu_i + i - j}(a,x)\big)$ として定義され、$S_k(a,x)$ は $U^a(x) = \prod_m (1 - x_m T)^{-a}$ から生成される。
• 拡張されたシュール多項式は畳み込み恒等式 $s_{\lambda/\mu}(a+b,x) = \sum_{\nu} s_{\lambda/\nu}(a,x)s_{\nu/\mu}(b,x)$ を満たし、古典的積則を一般化する。
• $a=1$ のとき、構成は標準的シュール関数を回復する。$a \neq 1$ のとき、終点の順序による符号付きの新しいパス寄与が現れ、例えば $s_{(2,1)}(a,x)$ に $-\frac{a(a-1)(a-2)}{6}\sum_m x_m^3$ が現れる。
• 双対性の拡張として $s_{\lambda^*/\mu^*}(a,x) = (-1)^{| \lambda| - | \mu|} s_{\lambda/\mu}(-a,x)$ が成り立つ。