[論文レビュー] Using max-algebra linear models in the representation of queueing systems

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Simulation Techniques and Applications参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、線形代数的方程式を用いてキューイングシステムをモデル化するためのmax代数フレームワークを導入し、代数的操作を用いてG/G/1およびトランゼンキューの体系的解析を可能にする。到着時刻と出発時刻がmax代数的スカラーおよび行列方程式で表現可能であることが示され、標準的な代数的技法を用いて閉形式の解が導出されることを示している。

ABSTRACT

The application of the max-algebra to describe queueing systems by both linear scalar and vector equations is discussed. It is shown that these equations may be handled using ordinary algebraic manipulations. Examples of solving the equations representing the $G/G/1$ queue and queues in tandem are also presented.

研究の動機と目的

• キューイングシステムの表現にmax代数的線形モデルを拡張すること、特にG/G/1およびトランゼンキューを対象とする。
• キューイングダイナミクスが標準的な代数的操作を用いてmax代数的スカラーおよびベクトル方程式で表現可能であることを示すこと。
• max代数的定式化を用いてG/G/1およびトランゼンキューイングシステムにおける到着時刻および出発時刻の明示的解を提供すること。
• 循環する顧客を伴う閉鎖系にこのアプローチを一般化し、遅延依存型遷移行列を導入すること。
• 離散イベントシステムの性能評価のためのmax代数的線形モデルの基盤を確立すること。

提案手法

• max代数演算を用いてキューイングダイナミクスを表現：$ x \bigoplus y = \max(x,y) $, $ x \otimes y = x + y $, ここで $ \varepsilon = -\infty $, $ e = 0 $。
• 標準的な再帰的キューイング方程式（例：$ D(k) = \max(A(k), D(k-1)) + \tau_k $）をmax代数的形に再定式化：$ D(k) = \tau_k \otimes (A(k) \oplus D(k-1)) $。
• 出発時刻のベクトル表現 $ \mathbf{D}(k) $ を構築し、オープンおよびクローズドシステムのための遷移行列 $ T_k $, $ \tilde{T}_k $ および $ R_k, S_k $ を導出する。
• max代数演算の分配法則および結合則を適用して方程式を反復的に解き、閉形式の解を導出する。
• max代数における行列乗算を用いて、トランゼンおよびクローズドキューイングネットワークにおける状態遷移をモデル化する。
• 繰り返し適用されたmax代数的積を用いて解を導出：$ D(k) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigotimes_{j=1}^i \alpha_j \otimes \tau_i \otimes \bigotimes_{j=i+1}^k \tau_j \right) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 max代数的線形モデルは、スカラーおよびベクトル方程式を用いてG/G/1キューイングシステムのダイナミクスを表現可能か？
• RQ2 標準的な代数的操作は、キューイングシステムにおけるmax代数方程式にどのように適用可能か？
• RQ3 max代数を用いたトランゼンキューにおける遷移行列の構造はいかなるものか？
• RQ4 循環する顧客を伴う閉鎖キューイングシステムは、max代数的ベクトル方程式でどのようにモデル化可能か？
• RQ5 max代数を用いたトランゼンおよび閉鎖キューイングシステムにおける出発時刻の閉形式解は何か？

主な発見

• G/G/1キューのダイナミクスは、max代数的方程式により成功裏にモデル化された：$ A(k) = \alpha_k \otimes A(k-1) $, $ D(k) = \tau_k \otimes (A(k) \oplus D(k-1)) $。
• 到着時刻は $ A(k) = \alpha_1 \otimes \cdots \otimes \alpha_k $ で与えられ、これが累積的な到着間隔を表す。
• G/G/1キューの出発時刻は $ D(k) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigotimes_{j=1}^i \alpha_j \otimes \tau_i \otimes \bigotimes_{j=i+1}^k \tau_j \right) $ で与えられ、イベントネットワーク内の最長経路を捉えている。
• n台のサーバーを持つトランゼンキューでは、遷移行列 $ \tilde{T}_k $ が構築され、$ \mathbf{D}(k) = \tilde{T}_k \otimes \mathbf{D}(k-1) $ と表され、要素が経路遅延を符号化している。
• c人の顧客を伴う閉鎖トランゼンシステムでは、ベクトル方程式 $ \mathbf{D}(k) = R_k \otimes \mathbf{D}(k-1) \oplus S_k \otimes \mathbf{D}(k-c) $ がフィードバックと循環をモデル化する。
• n=2, c=2の閉鎖系では、解が $ D_1(k) = \tau_{11} \otimes \left( \bigotimes_{i=1}^{k-2} (\tau_{1,i+1} \oplus \tau_{2,i}) \right) \otimes \tau_{1k} $ および $ D_2(k) = \tau_{11} \otimes \left( \bigotimes_{i=1}^{k-1} (\tau_{1,i+1} \oplus \tau_{2,i}) \right) \otimes \tau_{2k} $ で与えられ、経路ベースの遅延蓄積が示されている。