[論文レビュー] Using path integrals to price interest rate derivatives

Matthias Otto|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、従来の偏微分方程式や確率過程の明示的解法を回避する経路積分的手法を用いて金利デリバティブの価格設定を提示する。Martin-Siggia-Rose形式を用いて、Vasicekのゼロクーポンボンドおよびオプションの価格を正確に再現し、短金利モデルにおける解析的・数値的応用の有効性を示している。

ABSTRACT

We present a new approach for the pricing of interest rate derivatives which allows a direct computation of option premiums without deriving a (Black-Scholes type) partial differential equation and without explicitly solving the stochastic process for the underlying variable. The approach is tested by rederiving the prices of a zero bond and a zero bond option for a short rate environment which is governed by Vasicek dynamics. Furthermore, a generalization of the method to general short rate models is outlined. In the case, where analytical solutions are not accessible, numerical implementations of the path integral method in terms of lattice calculations as well as path integral Monte Carlo simulations are possible.

研究の動機と目的

• 金利デリバティブの価格設定のための新しいフレームワークを、Black-Scholes 型の偏微分方程式に依存せずに経路積分を用いて開発すること。
• Vasicek 動的下での解析的に解けるケース—具体的にはゼロクーポンボンドおよびゼロクーポンボンドオプション—に対して、この手法をテストすること。
• 時間的・金利依存のドリフトおよびボラティリティを持つ一般の短期金利モデルに、このアプローチを一般化すること。
• 解析的解が得られないモデルに対し、格子離散化および経路積分モンテカルロシミュレーションを用いた数値的実装を可能にすること。

提案手法

• 経路積分形式は、直接偏微分方程式を導出することを避ける、Martin-Siggia-Rose (MSR) 確率的微積分枠組みから導出される。
• Vasicek モデル下での短期金利ダイナミクスは、ガウス白色ノイズ駆動のランジュバン方程式として表現される。
• 確率的ダイナミクスをハミルトニアンに類似した作用を介して記述する、短期金利経路の確率密度関数的関数が構築される。
• 一般化された経路積分作用には、ドリフト項およびボラティリティ項が含まれ、金利水準や時間に依存するボラティリティがある場合には補助場が導入される。
• すべての金利経路にわたる関数的積分を、作用の負の指数関数で重み付けすることで、継続的クレームの価格設定が行われる。
• 時間の格子離散化および補助場の実部・虚部に関する積分を介して、数値的実装が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏微分方程式を解かずに、経路積分を用いて金利デリバティブの価格設定が可能か？
• RQ2 経路積分法は、Vasicek モデル下でのゼロクーポンボンドおよびオプションの既知の解析的結果を再現できるか？
• RQ3 ボラティリティが定数でない場合や、時間に依存するドリフトを持つ短期金利モデルに、経路積分形式をどのように一般化できるか？
• RQ4 解析的解が得られない場合に、どのような数値的戦略を採用できるか？
• RQ5 経路積分アプローチは、新たな金融モデルおよび数値的シミュレーションの基盤として機能できるか？

主な発見

• 経路積分法は、Vasicek モデル下でのゼロクーポンボンド価格を正確に再現し、既存のモデルと整合性があることを確認した。
• この手法は、Vasicek 動的下での Jamshidian の公式によるゼロクーポンボンドオプション価格を正しく再現した。
• 時間的・金利依存のドリフトおよびボラティリティを持つ任意の短期金利モデルに対して、一般化された経路積分作用が導出された。
• ボラティリティが非定数の場合、補助場の導入が必要であり、複素数の場に関する関数的積分が可能になる。
• 解析的解が得られないモデルに対しても、格子離散化および経路積分モンテカルロシミュレーションを用いた数値計算が可能である。
• 本手法は、固定利付デリバティブ分野における従来の PDE や SDE に基づく価格設定法とは対照的に、統一的かつ物理的直感に基づいた代替手法を提供する。