[論文レビュー] Using the Notion of Copula in Tomography

Doriano-Boris Pougaza, Ali Mohammad‐Djafari+1 more|ArXiv.org|Dec 6, 2008

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コピュラ理論を活用して周辺投影間の依存構造をモデル化することで、コンputedトモグラフィ（CT）画像再構成のための新規フレームワークを提示する。逆問題を、線積分された周辺分布から連関密度を再構成するものとして扱う。スクラーの定理とコピュラ族（例：ガウス、クリーブランド、ガブリエル）を適用することで、水平および垂直の2つの投影からの再構成が可能となり、シミュレーションと独自の<<copula-tomography>>パッケージを用いた実験で有効性が示された。

ABSTRACT

In 1917 Johann Radon introduced the Radon transform which is used in 1963 by A. M. Cormack for application in the context of tomographic image reconstruction. He proposed to reconstruct the spatial variation of the material density of the body from X-Ray images (radiographies) for different directions. Independently G. N. Hounsfield derived an algorithm and built the first medical CT scanner. Basically the idea of the X-ray CT is to get an image of the interior structure of an object by X-raying the object from many different directions. The mathematical problem is then estimating a multivariate function from its line integrals. Four year before Cormack's idea, Abe Sklar introduced a theory in the context of Statistics called copula. Shortly copulas are functions that link multivariate distributions to theirs univariate marginal functions. It appeared that copulas captivated all dependence structure concerning the marginal functions and offer a wide range of parametric family model which could be used as a model for the joint distribution function. This statistical problem is the same as in Tomography, because a marginal density is obtained from a line integral of its joint distribution. In the particular case of only given horizontal and vertical projections corresponding to a given two marginal functions, we link the theory of copula to tomography via the Radon transform and Sklar's theorem. The result we propose seems to be new as mathematical approach to solve this tomographic inverse problem.

研究の動機と目的

• トモグラフィー再構成と統計的コピュラ理論との間の数学的類似性を橋渡しすること。
• コピュラを用いて依存関係をモデル化することで、水平および垂直の2つの投影からのみで、CTにおける不適切な逆問題を解くこと。
• コピュラを用いた連関密度モデリングを活用した、トモグラフィー再構成のための計算フレームワークの開発。
• 合成データとプロトタイプの<<copula-tomography>>ソフトウェアパッケージを用いた、手法の検証。

提案手法

• 多変量連関分布とその周辺分布との関係をコピュラ関数を介して結ぶために、スクラーの定理を用いる。
• アーチメデス型（クリーブランド、ガブリエル、フラヌクス、アリ＝ミケル＝ハク）、楕円型（ガウス、スルーディス）などのさまざまなコピュラ族を用いて、周辺投影間の依存関係をモデル化する。
• バックプロジェクション（BP）、フィルタドバックプロジェクション（FBP）、乗法的バックプロジェクション（MBP）の手法を用いて、周辺データから画像を再構成する。
• コピュラを用いた再構成をシミュレートできるメニュー駆動型インターフェースを備えた独自の<<copula-tomography>>ソフトウェアパッケージを開発する。
• 複雑な連関密度をモデル化し、異なるコピュラ仮定下での再構成の妥当性を検証するため、ガウス分布の混合を用いる。
• コピュラのパrameter推定に最尤推定（MLE）、マージンからの推定（IFM）、ベイズ的手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コピュラ理論は、トモグラフィーにおいて、2つの周辺投影からのみ2次元密度を再構成するために効果的に適用可能だろうか？
• RQ2 ガウス、クリーブランド、ガブリエルなどの異なるコピュラ族は、トモグラフィー画像再構成の品質および正確性にどのように影響を与えるだろうか？
• RQ3 コピュラが捉える依存構造は、投影が限られたCTの不適切な逆問題において、どの程度再構成を改善するだろうか？
• RQ4 コピュラとトモグラフィー再構成を統合したソフトウェアパッケージは、シミュレーションのために効果的に実装・利用可能だろうか？

主な発見

• コピュラベースの手法は、水平および垂直の2つの周辺投影からのみ連関密度を再構成できることを示し、不適切な逆問題に対しても有効性を示した。
• 2および5つの投影を用いた初期のシミュレーション結果から、コピュラベースの再構成手法（例：MBP、MFBP）が視覚的に妥当で構造的に正確な画像を生成することが分かった。
• <<copula-tomography>>パッケージは、さまざまなコピュラ族とガウス分布の混合を用いた、画像再構成のインタラクティブなシミュレーションを可能にした。
• 異なるコピュラ族（例：ガブリエル、クリーブランド、フラヌクス）は、周辺データに基づいて柔軟に連関密度をモデル化できる異なる依存構造を生成する。
• 特に、コピュラを用いたマージナルを調整した乗法的バックプロジェクションを用いることで、合成データにおける複雑な空間的依存関係を捉える可能性が示された。
• 本フレームワークは、FBPなどの古典的手法に依存関係モデリングを組み込むことで拡張する新しい統計的視点をトモグラフィー再構成に提供した。