[論文レビュー] V*-algebras

Andre Kornell|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、可分な基数を持つ局所コンpaktoHausdorff空間 $X$ に対する $ frac{ ext{L}^ frac{ ext{infty}}}{ ext{}}(X)$ の非可換一般化として、V*-代数を導入する。これは、すべての実数の集合がルベーグ可測であるような集合論のモデルを用いて、連続的関数計算をすべての有界関数へと標準的な拡張を可能にする。主な貢献は、任意の分離可能なC*-代数 $A$ に対して包拡V*-代数 $V^*(A)$ を構成することであり、$A = C_0(X)$ のとき $ frac{ ext{L}^ frac{ ext{infty}}}{ ext{}}(X)$ を回復し、型I代数に対して $ frac{ ext{L}^ frac{ ext{infty}}}{ ext{}}$-直和の標準的同型を確立する。

ABSTRACT

What is the correct noncommutative generalization of the functor $C_0(X) \mapsto \ell^\infty(X)$ for locally compact Hausdorff $X$ having a countable basis? Making the ansatz $K(\ell^2) \mapsto B(\ell^2)$, we expect that every unital $*$-homomorphism $C(\mathbb T) ightarrow B(\ell^2)$ extend canonically to a unital $*$-homomorphism $\ell^\infty(\mathbb T) ightarrow B(\ell^2)$. Thus, we expect to extend the continuous functional calculus for a unitary operator on $\ell^2$ to all bounded complex-valued functions. Therefore, we work in a model of set theory where every set of real numbers is Lebesgue measurable; we must assume the consistency of an inaccessible cardinal in order to do so. The axiom of choice necessarily fails in such a model, but our model is carefully chosen to enable the verification of many familiar theorems via a scrutinization of their statements rather than their proofs. This technique significantly lowers the cost of doing interesting mathematics in this unfamiliar setting, and it is explained in detail. By analogy with the ultraweak topology, we define the continuum-weak topology on bounded operators to be the topology given by functionals of the form $x \mapsto \int_0^1 \, dt$. We then define a V*-algebra to be a C*-algebra of bounded operators that is closed in the continuum-weak topology. Every C*-algebra $A$ has an enveloping V*-algebra $V^*(A)$, and if $X$ is a locally compact Hausdorff space with a countable basis, then $V^*(C_0(X)) \cong \ell^\infty(X)$. More generally, if $A$ is any separable C*-algebra of type I, then $V^*(A)$ is canonically isomorphic to an $\ell^\infty$-direct sum of type I factors, with one summand for each irreducible representation of $A$. The self-adjoint part of any unital separable C*-algebra is isomorphic to the Banach space of strongly affine real-valued functions on its state space.

研究の動機と目的

• 可分な基数を持つ局所コンパクトHausdorff空間 $X$ に対して、関手 $C_0(X) \mapsto \ell^\infty(X)$ の非可換一般化を求める。
• ユニタリ作用素の連続的関数計算を $\ell^2$ 上ですべての有界複素数値関数へと拡張するが、すべての実数の集合がルベーグ可測であるような集合論的枠組みを必要とする。
• C*-代数を一般化する、連続的弱位相に関して閉じた新しい作用素代数のクラス—V*-代数—を定義する。
• 任意の分離可能なC*-代数 $A$ に対して包拡V*-代数 $V^*(A)$ を構成し、型I代数に対して標準的同型を保証する。
• 単位的分離可能なC*-代数の自己随伴部と、その状態空間上の強アファイン実数値関数の空間との間のバナッハ空間同型を確立する。

提案手法

• すべての実数の集合がルベーグ可測であるような集合論のモデルを用い、不動点基数の整合性と選択公理の否定を要請する。
• 有界作用素上の連続的弱位相を、$\varphi_t$ が状態であるような関数 $x \mapsto \int_0^1 \varphi_t(x) \, dt$ によって誘導される位相として定義する。
• V*-代数を、有界作用素のC*-代数で、連続的弱位相に関して閉じたものとして定義する。
• 完全な選択公理の欠如下でも、証明ではなく数学的命題の吟味を用いて、既知の定理を検証し、基礎的コストを低減する。
• C*-代数 $A$ の連続的弱位相における閉包として、包拡V*-代数 $V^*(A)$ を構成する。
• 既約表現の構造を活用して、分離可能な型I C*-代数に対する $V^*(A)$ が、$A$ の各既約表現に対応する型I因子の $ frac{ ext{L}^ frac{ ext{infty}}}{ ext{}}$-直和に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手 $C_0(X) \mapsto \ell^\infty(X)$ は、非可換C*-代数へと一般化可能であり、標準的関数計算の拡張を保つようにできるか？
• RQ2 選択公理を仮定しないで、$\ell^2$ 上のユニタリ作用素の連続的関数計算を、すべての有界可測関数へと拡張することは可能か？
• RQ3 有界作用素にどのような位相的構造を与えると、$\ell^\infty(X)$ の非可換アナログが、望ましい代数的および位相的性質を保ちながら得られるか？
• RQ4 分離可能なC*-代数 $A$ に対して、包拡V*-代数 $V^*(A)$ をどのように構成できるか。また、$A$ が型Iのとき、その構造は何か？
• RQ5 単位的分離可能なC*-代数の自己随伴部と、その状態空間上の強アファイン実数値関数の空間との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の可分な基数を持つ局所コンパクトHausdorff空間 $X$ に対して、包拡V*-代数 $V^*(C_0(X))$ は $\ell^\infty(X)$ に標準的同型である。
• 任意の型Iの分離可能なC*-代数 $A$ に対して、包拡V*-代数 $V^*(A)$ は、$A$ の各既約表現に対応する型I因子の $\ell^\infty$-直和に同型である。
• 任意の単位的分離可能なC*-代数の自己随伴部は、バナッハ空間としてその状態空間上の強アファイン実数値関数の空間に同型である。
• 有界作用素上の連続的弱位相は、状態に対する $[0,1]$ 上の積分を介して定義され、V*-代数を定義する自然な位相を提供する。
• $V^*(A)$ の構成は、すべての実数の集合がルベーグ可測であるような集合論的モデルに依存しており、選択公理の不成立にもかかわらず、関数計算の標準的拡張を可能にする。
• 証明ではなく命題の吟味を用いる方法により、この非標準的モデルでも標準的定理の検証が可能となり、基礎的複雑性が著しく低減される。