[論文レビュー] V-cycle multigrid algorithms for discontinuous Galerkin methods on non-nested polytopic meshes

Paola F. Antonietti, Giorgio Pennesi|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非ネスト型多角的メッシュ上で不連続ガラーキン法に適用するVサイクル multigrid アルゴリズムを提案し、粗化レベルに小さな面が生じないよう、エッジ／面の粗化を伴う凝集化を用いる。十分なスムージングステップ数が確保されれば、メッシュの細分化および多項式次数 $p$ に対して一様収束性が保証され、標準的な凝集化スキームにおける小さな面に起因する条件数の悪化を克服する。

ABSTRACT

In this paper we analyse the convergence properties of V-cycle multigrid algorithms for the numerical solution of the linear system of equations arising from discontinuous Galerkin discretization of second-order elliptic partial differential equations on polytopal meshes. Here, the sequence of spaces that stands at the basis of the multigrid scheme is possibly non nested and is obtained based on employing agglomeration with possible edge/face coarsening. We prove that the method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large.

研究の動機と目的

• 多角的メッシュに小さな面を含む高次DG離散化から生じる線形方程式系の悪条件化を解消すること。
• 非ネスト型で凝集化されたメッシュを用いることで、細かいレベルから粗いレベルへ小さな面が伝搬されない multigrid スolver を開発すること。
• メッシュの細分化および多項式次数 $p$ に対してVサイクル multigrid 法の収束性が一様であることを証明すること。
• DG法に適用可能な一般の非ネスト型 multigrid フレームワークに適応可能な収束性を確立すること。
• 標準的な BPX フレームワークの制限を克服し、$\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ の仮定を緩和すること。この仮定はDG設定では成立しない可能性がある。

提案手法

• 小さな面が粗いレベルに伝搬されないよう、エッジ／面の粗化を伴う凝集化により、非ネスト型離散多項式空間の系列を構築する。
• 非ネスト型空間に適合するように、各レベルで異なる離散双一次形式を定義し、安定性と精度を確保する。
• リチャードソンスムージングと部分空間補正ステップを用いたVサイクル multigrid アルゴリズムを採用し、スムージングステップ数を多項式次数 $p$ に依存させる。
• 非ネスト型空間間の補間演算子 $I_{j-1}^j$ と制限演算子 $P_j^{j-1}$ を用いて、各レベル間で補正を伝達する。
• BPXフレームワークに基づく非ネスト型 multigrid フレームワークを採用し、DG設定に適応させるために安定性および近似仮定を修正する。
• 楕円的正則性、近似誤差推定、$h_j^2/p_j^{2-\mu}$ 項を含む安定性バインディングを組み合わせて収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vサイクル multigrid 法は、非ネスト型多角的メッシュ上での高次DG離散化に対して、一様収束性を達成できるか？
• RQ2 凝集化におけるエッジ／面の粗化は、粗いレベルのメッシュに生じる小さな面に起因する条件数の劣化を防げるか？
• RQ3 multigrid 法の収束性は、メッシュサイズ $h$ および多項式次数 $p$ の両方に対して一様か？
• RQ4 補間安定性条件 $\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ がDG設定で成立しない場合、標準的なBPX multigrid収束理論をDG法に適応可能か？
• RQ5 一様収束性を達成するために必要な最小のスムージングステップ数は何か？また、$p$ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 十分に大きなスムージングステップ数が確保され、かつ $p$ に依存する場合、Vサイクル multigrid 法はメッシュの細分化および多項式次数 $p$ に対して一様収束性を示す。
• 収束率は $\|w_{J} - I_{J-1}^{J}w_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|g\|_{L^2(\Omega)}$ で抑えられ、最適収束挙動を示す。
• エッジ／面の粗化を用いることで、標準的な凝集化手法の条件数の悪化を回避し、粗いレベルのメッシュに小さな面が現れないようにする。
• 解析により、非ネスト型 multigrid フレームワークが、標準的な BPX 安定性仮定がDG設定で成立しない場合でも、依然として頑健であることが示された。
• 収束証明の根幹をなす重要な推定式として、$\|z_{J-1} - I_{J-1}^J z_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|w_{J-1} - P_J^{J-1}w_J\|_{L^2(\Omega)}$ が得られた。
• 近似誤差バインディングと $L^2$-射影および補間演算子を含む安定性推定を組み合わせることで、一様収束性が保証される。