[論文レビュー] $V$-Integrability, Asymptotic Stability And Comparison Theorem of Explicit Numerical Schemes for SDEs

Łukasz Szpruch, Xīlíng Zhāng|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非グローバルリプシッツ係数を有する確率微分方程式（SDE）に対して、修正された明示的数値スキームの族を導入し、カシミンスキーのリャプノフ関数技術を用いて離散時間における$V$-可積分性、漸近的安定性、および比較定理を確立する。主な貢献は、標準的なエーラースキームが失敗する場合でも、連続SDEが持つ有界性の期待値および平衡点への概収束といった定性的性質を、数値スキームが保つことである。

ABSTRACT

Khasminski's \cite{chas1980stochastic} showed that many of the asymptotic stability and the integrability properties of the solutions to the Stochastic Differential Equations (SDEs) can be obtained using Lyapunov functions techniques. These properties are rarely inherited by standard numerical integrators. In this article we introduce a family of explicit numerical approximations for the SDEs and derive conditions that allow to use Khasminski's techniques in the context of numerical approximations, particularly in the case where SDEs have non globally Lipschitz coefficients. Consequently, we show that it is possible to construct a numerical scheme, that is bounded in expectation with respect to a Lyapunov function, and/or inherit the asymptotic stability property from the SDEs. Finally we show that using suitable schemes it is possible to recover comparison theorem for scalar SDEs.

研究の動機と目的

• 連続時間SDEにのみ適用可能であったカシミンスキーのリャプノフ関数技術を、離散時間の数値スキームへ拡張すること。
• 係数が非グローバルリプシッツである場合に、標準的な明示的エーラースキームが可積分性および安定性を保つことができない問題に対処すること。
• 標準的なSDEが持つ$V$-可積分性および漸近的安定性を、弱いモーメント条件のもとでも数値スキームが引き継げる明示的スキームを構築すること。
• 適切なスキーム修正を用いて、スカラーSDEにおける比較定理を数値的近似設定でも回復すること。
• 一般のリャプノフ関数$V(x) = \sum_{i=1}^d c_i x_i^{p_i}$を用いて、$L^p$-ノルムを超える数値解の定性的性質を分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 成長を制御するため、緩和されたドリフト項および拡散項を有する修正スキーム$\bar{X}_{k+1} = \bar{X}_k + b^h(t_k, \bar{X}_k)h + \sigma^h(t_k, \bar{X}_k)\Delta W_{k+1}$を導入する。
• 増分項にプロジェクションまたは切り捨て機構を適用し、$p_i$が同一でない場合でも、リャプノフ関数$V(x) = \sum_{i=1}^d c_i x_i^{p_i}$のもとで期待値の有界性を保証する。
• 連続時間におけるリャプノフ解析を模倣するため、微分作用素$\mathcal{L}V$の離散時間版を導出し、安定性および可積分性の証明を可能にする。
• モーメント推定およびコーシー＝シュワルツおよびチェビシェフの不等式を用いて、特に$L^{2+\epsilon}$モーメント条件の下で、弱いおよび強い誤差を評価する。
• ドリフト条件に応じて、$V(\bar{X}_k)$の期待値に対してグロワールド型の議論を適用し、指数的減衰または有界性を確立する。
• 誤差推定$\mathds{E}|\bar{X}_{t,x} - \tilde{X}_{t,x}|^2 \leq K(1 + |x|^{2+2/r})h^2$および$\mathds{E}|\bar{X}_{t,x} - \mathds{E}\tilde{X}_{t,x}| \leq K(1 + |x|^{1+3/(2r)})h^{3/2}$により収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルリプシッツ係数を有するSDEの明示的数値スキームにおいて、リャプノフ関数技術を用いて$V$-可積分性を保証することは可能か？
• RQ2 標準的エーラースキームが失敗する状況下でも、明示的スキームが元のSDEからの漸近的安定性をどのように引き継げるか？
• RQ3 適切なスキーム修正を用いることで、スカラーSDEの数値近似設定でも比較定理を回復することは可能か？
• RQ4 一般のリャプノフ関数$V(x) = \sum c_i x_i^{p_i}$を用いて、$L^p$-ノルムを超える数値スキームの定性的性質をどのように分析できるか？
• RQ5 $b^h$および$\sigma^h$に必要なモーメントおよび成長条件は何か？これにより、$V$-リャプノフ関数のもとで強い収束性および期待値の有界性が保証されるか？

主な発見

• 提案された緩和された明示的スキームは、条件$\mathcal{L}V(x) \leq \rho V(x)$のもとで、$\mathds{E}V(\bar{X}_k) \leq e^{\rho T} \mathds{E}V(\bar{X}_0)$を満たし、連続時間の可積分性結果を模倣する。
• 漸近的安定性の観点では、$\mathcal{L}V(x) \leq -z(x)$かつ$z(x) \geq \rho V(x)$の下で、$\mathds{E}V(\bar{X}_k) \leq e^{-\rho k h} \mathds{E}V(\bar{X}_0)$が成り立ち、期待値における指数的減衰を証明する。
• スキームは$L^{4+4/r}$モーメント条件のもとで、$L^2$収束性を示し、誤差境界$\mathds{E}|\bar{X}_{t,x} - \tilde{X}_{t,x}|^2 \leq K(1 + |x|^{2+2/r})h^2$が成立する。
• 本手法により、スキームが解の単調性および順序性を保つようにすることで、スカラーSDEにおける比較定理を回復できる。
• 収束には$4\kappa$モーメントのみを要するが、プロジェクション機構のおかげで実際の要件はバランススキームと同等か、それ以下となる。
• 期待値$\mathds{E}X_t^-$にグロワールド議論を適用することで、$\mathds{E}X_t^- = 0$（すべての$t$に対して）が示され、適切なドリフト構造のもとで$X_t \geq 0$ almost surely であることが示される。