[論文レビュー] Vacant sets and vacant nets: Component structures induced by a random walk

Colin Cooper, Alan Frieze|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ランダムなr正則グラフ上のランダムウォークによって誘導される未訪問頂点および未訪問辺（すなわち、空集合および空ネット）の構成要素構造を分析する。3種類のウォーク（単純ウォーク、非後退ウォーク、未訪問辺優先ウォーク）に対して、空ネットのフェーズ遷移閾値を特定し、rが増加するにつれて異なる漸近的閾値に収束することを示している。

ABSTRACT

Given a discrete random walk on a finite graph G, the vacant set and vacant net are, respectively, the sets of vertices and edges which remain unvisited by the walk at a given step t.%These sets induce subgraphs of the underlying graph. Let Γ(t) be the subgraph of Ginduced by the vacant set of the walk at step t. Similarly, let Γˆ(t) be the subgraph of G induced by the edges of the vacant net. For random r-regular graphs Gr, it was previously established that for a simple random walk, the graph Γ(t) of the vacant set undergoes a phase transition in the sense of the phase transition on Erd\H{os}-Renyi graphs Gn,p. Thus, for r≥3 there is an explicit value t∗=t∗(r) of the walk, such that for t≤(1−ϵ)t∗, Γ(t) has a unique giant component, plus components of size O(logn), whereas for t≥(1+ϵ)t∗ all the components of Γ(t) are of size O(logn). We establish the threshold value tˆ for a phase transition in the graph Γˆ(t) of the vacant net of a simple random walk on a random r-regular graph. We obtain the corresponding threshold results for the vacant set and vacant net of two modified random walks. These are a non-backtracking random walk, and, for r even, a random walk which chooses unvisited edges whenever available. This allows a direct comparison of thresholds between simple and modified walks on random r-regular graphs. The main findings are the following: As r increases the threshold for the vacant set converges to nlogr in all three walks. For the vacant net, the threshold converges to rn/2logn for both the simple random walk and non-backtracking random walk. When r≥4 is even, the threshold for the vacant net of the unvisited edge process converges to rn/2, which is also the vertex cover time of the process.

研究の動機と目的

• ランダムr正則グラフ上での未訪問辺によって誘導される部分グラフ（空ネット）のフェーズ遷移行動を同定すること。
• 単純ウォーク、非後退ウォーク、未訪問辺優先ウォークの3種類のランダムウォークにおいて、空ネットに巨大成分が出現する閾値時間を比較すること。
• 従来の空集合に関する結果を空ネットへと拡張し、辺誘導部分グラフにおける類似したフェーズ遷移解析を提供すること。
• rが増加する際の空ネットの漸近的閾値行動を特定すること、特に未訪問辺優先ウォークについて。
• 未訪問辺優先ウォークにおいて、空ネットの閾値が偶数rに対してrn/2に収束することを確立し、これは頂点カバー時間と一致することを示すこと。

提案手法

• ランダムr正則グラフ上でのランダムウォークの未訪問辺からなる部分グラフbΓ(t)の時間tに依存する進化を分析する。
• 確率的グラフ理論および構成モデルを用いて、空ネット内の(2,4)-サイクル（赤次数が2または4のオイラー成分）を数える。
• 確率的バウンドと指数的尾部推定を用いて、o(n)ステップの追加後にすべての(2,4)-サイクルが青いウォークに訪問される可能性が高くなることを示す。
• 構成モデルを用いて、特に長さがlog n以上のサイクルの期待数を計算し、それらに注目する。
• 大偏差バウンドと指数的減衰推定を用いて、tBステップ後にサイズ≥log nのサイクルが未訪問のまま残る確率をバウンドする。
• 従来の空集合に関する結果を援用し、それらを辺ベースの構造へと拡張し、フェーズ遷移のための同じ漸近的フレームワークを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムr正則グラフ上での空ネットbΓ(t)が、巨大成分を有する状態からサブクリティカル状態にフェーズ遷移する閾値時間t̂は何か？
• RQ2 単純ウォーク、非後退ウォーク、未訪問辺優先ウォークの3種類のランダムウォークにおいて、空ネットのフェーズ遷移閾値はどのように比較できるか？
• RQ3 3種類のウォークタイプについて、r → ∞ の際の空ネット閾値の漸近的挙動は何か？
• RQ4 未訪問辺優先ウォークは、その頂点カバー時間と一致する閾値に到達するか？その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 空ネットの構成要素構造はサイクル分解を用いて解析可能か？また、この分解はフェーズ遷移のタイミングにどのように影響するか？

主な発見

• 空集合に関しては、rが増加するにつれて、3種類のウォークタイプすべてで閾値t∗はn log rに収束する。
• 空ネットに関しては、単純ランダムウォークおよび非後退ウォークの両方において、rが増加するにつれて閾値はrn/2 log nに収束する。
• 偶数r ≥4に対して、未訪問辺優先ウォークにおける空ネットの閾値はrn/2に収束し、これはプロセスの頂点カバー時間と一致する。
• 未訪問辺優先ウォークの空ネットは、o(n)ステップの追加後に2-サイクルのみが残る状態に達し、これらは高確率で完全に探索される。
• 最終的な空ネットにおける長さiのサイクルの期待数はO(1/i)であり、tB = O(n log n log log n)ステップ後にサイズ≥log nのサイクルが未訪問のまま残る確率はo(1)である。
• 解析により、空ネットはエドーシュ＝レニのモデルと類似したフェーズ遷移を示すことが確認され、超臨界からサブクリティカルへの構成要素構造の鋭い遷移が生じる。