[論文レビュー] Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2008

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ひとこと要約

本稿では、基数$B$展開における桁数の生成関数を用いた積分表現を用いて、一般化エイラー定数関数$\gamma_{a,b}(z)$およびその導関数のバッカ型およびラマヌジャン型級数を一般化する。$\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$、およびソモス定数およびグライシャー＝キンケリン定数の対数に対する新しい有理級数を導出し、基数$B$の桁構造に基づく明示的な収束級数展開を提供する。

ABSTRACT

We generalize well-known Catalan-type integrals for Euler's constant to values of the generalized-Euler-constant function and its derivatives. Using generating functions appeared in these integral representations we give new Vacca and Ramanujan-type series for values of the generalized-Euler-constant function and Addison-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative. As a consequence, we get base $B$ rational series for $\log\frac{4}π,$ $\frac{G}π$ (where $G$ is Catalan's constant), $\frac{ζ'(2)}{π^2}$ and also for logarithms of Somos's and Glaisher-Kinkelin's constants.

研究の動機と目的

• オイラー定数のカタログ型積分およびバッカ型級数を一般化エイラー定数関数$\gamma_{a,b}(z)$およびその導関数へ拡張すること。
• $\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$、およびソモス定数およびグライシャー＝キンケリン定数の対数といった特別な定数に対する新しい有理級数を導出すること。
• 基数$B$展開における桁数関数と、生成関数および積分変換を用いた級数和への関係を確立すること。
• 基数$B$の桁構造に基づく多項式重み付き和を用いて、$\gamma_{a,b}(z)$およびその導関数の高速収束級数展開を提供すること。

提案手法

• 基数$B$展開における桁数の生成関数を用いて、$\gamma$のラマヌジャンおよびバーンドット＝ボーマン積分を一般化エイラー定数関数$\gamma_{a,b}(z)$へ一般化する。
• $L_B(k) = \lfloor \log_B(Bk) \rfloor$を定義し、$k$の基数$B$での長さとして、級数展開における重みとして用いる。
• 基数$B$展開における桁または語の出現回数から生成関数$G_B(x)$を構成し、$n$の基数$B$表現における語$\omega$の出現回数$N_{\omega,B}(n)$を符号化する。
• 形式$\int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{B^n - 1} dx$の積分を用いて、$\gamma_{a,b}(z)$へ拡張した新しいバッカ型級数を導出する。
• ソンドウの一般化アディソン級数から得られる多項式$P_B(n)$を用い、$\gamma_{a,b}(z)$およびその導関数の有理級数の項に重みを付ける。
• 生成関数から導かれる再帰的列$a_{k,\ell}$および$c_k$を用いて、最終的な級数展開における係数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー定数のバッカ型およびラマヌジャン型級数は、一般化エイラー定数関数$\gamma_{a,b}(z)$およびその導関数へ一般化可能か？
• RQ2 基数$B$の桁構造を用いて、$\log\frac{4}{\pi}$、$\frac{G}{\pi}$、$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$、および特別な定数の対数に対する有理級数表現をどのように導出できるか？
• RQ3 基数$B$展開における桁数の生成関数は、$\gamma_{a,b}(z)$の積分表現とどのように関係するか？
• RQ4 基数$B$の桁数カウントに基づく重み付き和を用いて、$\gamma_{a,b}(z)$および$\gamma'_{a,b}(z)$の高速収束級数を構成可能か？
• RQ5 特別な定数の新しい級数展開における係数を支配する再帰的列は何か？

主な発見

• 本稿では、$\log\frac{4}{\pi}$の基数$B$有理級数を導出：$\log\frac{4}{\pi} = \frac{5}{8} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2k(2k+1)(2k+2)}$、ここで$a_1 = 4$かつ$k \geq 2$に対して$a_k = a_{\lfloor k/2 \rfloor} + \frac{1}{2^{k-1}}$。
• グライシャー＝キンケリン定数のための新しい級数：$\log A = \frac{13}{48} - \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(7L_B(k) - 7L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + b_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$、$b_k$は再帰的に定義される。
• $\frac{G}{\pi}$のための級数：$\frac{G}{\pi} = \frac{11}{32} + \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{8}L_B(\lfloor k/2 \rfloor) - \frac{1}{8}L_B(k) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$、$c_k$は再帰的に定義される。
• $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$のための級数：$\frac{\zeta'(2)}{\pi^2} = -\frac{1}{16} + \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(4L_B(k) - L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$、$c_k$は再帰的に定義される。
• 本稿では、$\gamma_{2,1}(-1)$の新しい積分表現を提供：$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,0}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$、ここで$a_{k,0}$は再帰的に定義される。
• $\gamma'_{2,1}(-1)$のための級数：$\gamma'_{2,1}(-1) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,1}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$、$a_{k,1}$は再帰的に定義される。