[論文レビュー] Vacuum electromagnetism from a geometrical structure

Yakov Itin|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2005

Relativity and Gravitational Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、局所ローレンツ不変性が破れた coframe 場理論から導かれる幾何学的枠組みを提示する。Maxwellに適合する線形接続を導入することで、妥当な重力モデルにおける6つの追加自由度が、真空中の Maxwell 方程式に類似した系を満たすゲージ場として動的に伝播することを示し、シュバルツシルト半径の外側ではクーロン場に類似した球対称解が得られる。

ABSTRACT

We study which geometric structure can be constructed from the vierbein (frame/coframe) variables and which field models can be related to this geometry. The coframe field models, alternative to GR, are known as viable models for gravity, since they have the Schwarzschild solution. Since the local Lorentz invariance is violated, a physical interpretation of additional six degrees of freedom is required. The geometry of such models is usually given by two different connections -- the Levi-Civita symmetric and metric-compatible connection and the Weitzenbock flat connection. We construct a general family of linear connections of the same type, which includes two connections above as special limiting cases. We show that for dynamical propagation of six additional degrees of freedom it is necessary for the gauge field of infinitesimal transformations (antisymmetric tensor) to satisfy the system of two first order differential equations. This system is similar to the vacuum Maxwell system and even coincides with it on a flat manifold. The corresponding ``Maxwell-compatible connections'' are derived. Alternatively, we derive the same Maxwell-type system as a symmetry conditions of the viable models Lagrangian. Consequently we derive a nontrivial decomposition of the coframe field to the pure metric field plus a dynamical field of infinitesimal Lorentz rotations. Exact spherical symmetric solution for our dynamical field is derived. It is bounded near the Schwarzschild radius. Further off, the solution is close to the Coulomb field.

研究の動機と目的

• ビアーベイン（coframe）変数から導かれる幾何的構造で、6つの追加自由度が動的に伝播可能であるものを特定すること。
• ローレンツ不変性が破れた重力モデルにおけるこれらの自由度の物理的解釈を解明すること。
• 無限小ローレンツ変換のゲージ場のための、真空 Maxwell 方程式に類似した系の式を導出すること。
• coframe 場が、純粋な計量部とローレンツ回転の動的場に分解可能であることを示すこと。
• 動的場の正確な球対称解を構成し、シュバルツシルト半径近傍での挙動を分析すること。

提案手法

• リーマン接続とワイツェンボック接続を極限ケースとして含む一般の線形接続族を構築すること。
• 無限小ローレンツ変換のゲージ場が、真空中の Maxwell 方程式に類似した一階微分方程式系を満たす条件を導出すること。
• Maxwell型系が、妥当モデルのラグランジアンの対称性条件として自然に生じることを示すこと。
• 動的場が Maxwell 的な系を介して伝播するのを保証する「Maxwellに適合する接続」を導入すること。
• coframe 場を計量成分と無限小ローレンツ回転を表す場に非自明に分解すること。
• 球対称性のもとで得られた方程式を正確に解き、シュバルツシルト半径近傍で有界な解を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビアーベイン場から構築された幾何的構造は、Maxwellに類似した伝播を示す動的ゲージ場を支持できるか？
• RQ2 ローレンツ不変性が破れた重力モデルにおける6つの追加自由度は、どのように物理的に解釈できるか？
• RQ3 無限小ローレンツ変換のゲージ場が、真空中の Maxwell 型系を満たす条件は何か？
• RQ4 計量成分と動的ローレンツ回転成分に分解可能な coframe 場の分解は、幾何的整合性を保っているか？
• RQ5 球対称性のもとで、動的場はシュバルツシルト半径付近およびその外縁でどのように振る舞うか？

主な発見

• 無限小ローレンツ変換のゲージ場は、平坦な多様体上での真空 Maxwell 方程式と同一の一次微分方程式系を満たす。
• coframe 分解から得られる動的場は Maxwell 場として伝播するため、この枠組みにおいて電磁気学の幾何的起源が示唆される。
• 動的場の正確な球対称解は、シュバルツシルト半径付近で有界である。
• シュバルツシルト半径から遠く離れるにつれて、解は点電荷のクーロン場に漸近的に近づく。
• coframe 場は、計量部と無限小ローレンツ回転を表す動的場に非自明に分解可能である。
• Maxwellに適合する接続により、幾何モデルにおける6つの追加自由度の整合的な動的伝播が保証される。