[論文レビュー] Validating Stochastic Models: Invariance Criteria for Systems of Stochastic Differential Equations and the Selection of a Stochastic Hodgkin-Huxley Type Model

Jacky Cresson, Bénédicte Puig+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、確率的微分方程式（SDE）の系に対して、解がR^mの長方形部分集合（神経モデルにおけるゲーティング変数の単位区間など）にとどまるように保証する明示的な必要十分な不変性基準を構築する。著者らは伊藤型とストラトノビッチ型の両解釈に対して有効な条件を導出し、ゲーティング変数が0と1の間で有界に保たれるような妥当な確率的ハッキング＝ハクスリー型モデルの構築を可能にし、計算神経科学における重要な妥当性の課題を解決する。

ABSTRACT

In recent years, many difficulties appeared when taking into account the inherent stochastic behavior of neurons and voltage-dependent ion channels in Hodgking-Huxley type models. In particular, an open problem for a stochastic model of cerebellar granule cell excitability was to ensure that the values of the gating variables remain within the unit interval. In this paper, we provide an answer to this modeling issue and obtain a class of viable stochastic models. We select the stochastic models thanks to a general criterion for the flow invariance of rectangular subsets under systems of stochastic differential equations. We formulate explicit necessary and sufficient conditions, that are valid for both, It\\^o's and Stratonovich's interpretation of stochastic differential equations, improving a previous result obtained by A. Milian [A.Milian, Coll. Math. 1995] in the It\\^o case. These invariance criteria allow to validate stochastic models in many applications. To illustrate our results we present numerical simulations for a stochastic Hodgkin-Huxley model.

研究の動機と目的

• 確率的神経モデルにおける物理的に不適切な値（特に、小脳granule細胞においてゲーティング変数が[0,1]を超過する場合）を解消すること。
• SDEの下でR^mの長方形部分集合に対する一般化された不変性基準を構築し、モデルの妥当性を保証すること。
• 伊藤型とストラトノビッチ型の両解釈に対して有効であることを示すことで、先行する不変性結果を統合・拡張すること。
• 得られた基準を適用し、生物学的制約を保持する確率的ハッキング＝ハクスリー型モデルを選定すること。

提案手法

• 漂移fと拡散gを有するイタロ型SDEの系を定式化し、確率的神経動態をモデル化する。
• 拡散過程の生成作用素を用いて、長方形集合の不変性に関する明示的な必要十分条件を導出する。
• 不変性定理を正の錐と単位ハイパーキューブに適用し、ゲーティング変数の有界性を保証する。
• イタロ型とストラトノビッチ型SDEの間の変換を用いて、不変性条件が確率的積分の解釈に依存しないことを示す。
• 生物学的に妥当なパラメータを用いた確率的ハッキング＝ハクスリー型モデルに対して、基準を検証する。
• 数値シミュレーションを実施し、選択されたモデルが確率的摂動下でもゲーティング変数を[0,1]に保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漂移係数と拡散係数にどのような条件が課わられると、SDEの解がR^mの長方形部分集合（例：[0,1]^m）にとどまるか？
• RQ2 SDEのイタロ型とストラトノビッチ型の解釈の選択に依存しない不変性基準をどのように構築できるか？
• RQ3 これらの基準を、有界なゲーティング変数を有するハッキング＝ハクスリー型モデルを含む神経可動性の確率的モデルの妥当性検証に適用可能か？
• RQ4 確率的ハッキング＝ハクスリー型モデルにおけるゲーティング変数が単位区間を越えないように保証する具体的な数学的条件は何か？
• RQ5 数値シミュレーションは、選択された確率的モデルが生物学的制約を保持することをどのように確認できるか？

主な発見

• 本稿では、イタロ型とストラトノビッチ型の両解釈に対して有効な、SDEの下での長方形部分集合の不変性に関する明示的な必要十分条件を確立した。
• 不変性条件は確率的積分の解釈に依存せず、あらゆるモデリングフレームワークにおいて堅牢であることが保証される。
• 正の錐K^+ ⊂ R^mに対して、不変性はf_i ≥ 0かつx_i = 0のときg_{i,j} = 0であれば成立する。
• 単位ハイパーキューブK = [0,1]^mに対しては、x_i = 0のときf_i ≥ 0かつg_{i,j} = 0であり、x_i = 1のときf_i ≤ 0かつg_{i,j} = 0であれば不変性が保証される。
• 数値シミュレーションにより、選択された確率的ハッキング＝ハクスリー型モデルが[0,1]内にゲーティング変数を保持することが確認され、長年のモデリング課題が解決された。
• ミリアン（1995）の先行研究を一般化し、システム生物学および神経科学分野における確率的モデルの妥当性検証のための統一的フレームワークを提供した。