[論文レビュー] Valuations and Metrics on Partially Ordered Sets

Chris Orum, Cliff Joslyn|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、部分順序集合（posets）上の価値関数の理論を拡張し、等位的および反位的上位および下位価値関数を導入し、これらの価値関数の対数変換が価値関数の性質を保つ条件を調査する。主な結果は、正の上位価値関数の対数は依然として上位価値関数のままであるが、下位価値関数の対数は一般に下位価値関数の性質を保つとは限らない。これは、計算言語学および生物学における類似度測度に影響を及ぼす。

ABSTRACT

We extend the definitions of upper and lower valuations on partially ordered sets, and consider the metrics they induce, in particular the metrics available (or not) based on the logarithms of such valuations. Motivating applications in computational linguistics and computational biology are indicated.

研究の動機と目的

• 部分順序集合上の上位および下位価値関数の定義を、等位的写像を含むように拡張し、価値関数理論における対称性を高めること。
• 正の価値関数の対数が、上位または下位価値関数の性質を保つかどうかを調査し、情報含量および類似度測度における重要な問いに答えること。
• 情報含量に基づく類似度測度の測度的性質を明確にすること、特に Jiang-Conrath 距離式の性質を検証すること。
• 対数合成された価値関数が、測度構築に用いるために有効な上位または下位価値関数となるための条件を提供すること。
• Jiang-Conrath 距離式が一般の部分順序集合上で測度を定義しないことを示し、木構造の部分順序集合上では定義可能であることを示すこと。

提案手法

• 部分順序集合上に等位的および反位的上位および下位価値関数を導入し、単調性の両方向を含むように従来の定義を一般化する。
• 主理想または主フィルターの共通部分集合における下界・上界に基づき、$ v^{-}(x,y) $ および $ v^{+}(x,y) $ という関数を定義する。
• 上位価値関数および下位価値関数の核心的不等式条件を確立する：上位価値関数では $ v^{-}(x,y) + v^{+}(x,y) \leq v(x) + v(y) $、下位価値関数では $ v(x) + v(y) \leq v^{-}(x,y) + v^{+}(x,y) $ が成り立つ。
• 正の上位価値関数 $ u $ に対して $ \ell(x) = \log u(x) $ の挙動を分析し、対数不等式の操作によりこれが依然として上位価値関数であることを証明する。
• ブール格子 $ M_2 $ を用いた反例を構築し、下位価値関数 $ v $ に対して $ \log v(x) $ が一般には下位価値関数でも上位価値関数でもないことを示す。
• 上位価値関数に対して $ L(x) = \log(K \cdot u(x) + A) $、下位価値関数に対して $ L'(x) = -\log(K \cdot v(x) + A) $ という変換を適用し、価値関数の種類を保つための条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分順序集合上の正の上位価値関数の対数が、いつ上位価値関数のままであるか。
• RQ2 部分順序集合上の正の下位価値関数の対数が、一般に下位価値関数または上位価値関数となるか。
• RQ3 Jiang-Conrath 距離式 $ \text{dist}_{JC}(x,y) = \mathcal{I}(x) + \mathcal{I}(y) - 2\mathcal{I}^{+}(x,y) $ は、一般の部分順序集合上で有効な測度であるか。
• RQ4 どのような構造的条件が、Jiang-Conrath 公式が部分順序集合上で測度を定義することを保証するか。
• RQ5 対数変換および測度構築の文脈において、等位的および反位的価値関数はどのように関係しているか。

主な発見

• 正の厳密な等位的または反位的上位価値関数の対数は、依然として上位価値関数であり、価値関数構造が保たれる。
• 正の厳密な等位的下位価値関数の対数は、一般には下位価値関数でも上位価値関数でもない。これは、ブール格子 $ M_2 $ 上の反例によって示された。
• 上位価値関数 $ u $ に対して、任意の $ K > 0 $ および $ A > -\min_{x} K \cdot u(x) $ に対して、変換 $ L(x) = \log(K \cdot u(x) + A) $ は上位価値関数を生成する。
• 下位価値関数 $ v $ に対して、$ K < 0 $ かつ $ A > \max_{x} |K| \cdot v(x) $ のとき、変換 $ L'(x) = -\log(K \cdot v(x) + A) $ は下位価値関数を生成する。
• Jiang-Conrath 距離式は、一般の部分順序集合では三角不等式を破るため、測度とはならない。
• Jiang-Conrath 距離式が有効な測度を定義するのは、部分順序集合が木構造である場合に限る。これは測度性を保証する十分条件である。