[論文レビュー] Valuations on convex functions and convex sets and Monge-Ampere operators

Semyon Alesker|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2017

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形汎関数の加法性に関して不変な凸関数上の連続的値関数と、凸体上の平行移動不変連続的値関数との間の深い関係を確立する。実数、複素数、クaternion数、オクタニオン数のマソン＝アームペール作用素を用いて、前者の空間から後者の空間への線形写像を構成し、その像が稠密であり、核が無限次元であることを証明することで、除法代数全体にわたる高次元幾何的値関数論の統一がなされる。

ABSTRACT

The notion of a valuation on convex bodies is very classical. The notion of a valuation on a class of functions was recently introduced and studied by M. Ludwig and others. We study an explicit relation between continuous valuations on convex functions which are invariant under adding arbitrary linear functionals, and translations invariant continuous valuations on convex bodies. More precisely, we construct a natural linear map from the former space to the latter and prove that it has dense image and infinite dimensional kernel. The proof uses the author's irreducibility theorem and few properties of the real Monge-Ampere operators due to A.D. Alexandrov and Z. Blocki. Fur- thermore we show how to use complex, quaternionic, and octonionic Monge-Ampere operators to construct more examples of continuous valuations on convex functions in an analogous way.

研究の動機と目的

• 凸関数上の値関数と凸体上の値関数との間の構造的関係を明らかにすること。
• 古典的な凸集合を超えて、線形汎関数の加法性に関して不変な凸関数を含む値関数論を拡張すること。
• 実数、複素数、クaternion数、オクタニオン数の複数の代数的設定におけるマソン＝アームペール作用素が、凸関数上の連続的値関数の新しいクラスを生成することを示すこと。
• 関数値関数から体値関数への自然な写像 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ の像が稠密であり、核が無限次元であることを証明することで、豊かな代数的構造を明らかにすること。

提案手法

• 双対空間 $ V^* $ 上の値関数 $ \Phi $ を、$ V $ 内の凸体 $ K $ に対して $ \phi(K) = \Phi(h_K) $ で定義される $ Val(V) $ 上の値関数 $ \phi $ に写す線形写像 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ を定義する。ここで $ h_K $ は $ K $ のサポート関数である。
• $ T $ が $ GL(V) $ の作用と可換であることを証明し、これにより著者の既約性定理を用いて $ T $ の像を解析可能にする。
• アレクサンドロフおよびブロッキーの意味での実マソン＝アームペール作用素を用いて、線形汎関数の加法性に関して不変な連続的値関数の明示的例を構成する。
• 最近得られた2変数のオクタニオン数的ヘッシアンと行列式に関する結果を活用し、複素数、クaternion数、オクタニオン数のマソン＝アームペール作用素への一般化を行う。
• 得られた関数型が値関数の性質を満たし、$ C^0 $-位相で連続であることを示し、$ VConv(V^*) $ に属することを確認する。
• 既約性定理を適用し、$ T $ の像が $ Val(V) $ の任意の $ GL(V) $-不変部分表現と交わることを示し、稠密性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形汎関数の加法性に関して不変な凸関数上の連続的値関数と、平行移動不変な凸体上の値関数との間にはどのような関係があるか？
• RQ2 非可換かつ非結合的代数（クaternion数やオクタニオン数）におけるマソン＝アームペール作用素が、凸関数上の新たな値関数のクラスを生成できるか？
• RQ3 自然な写像 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ の像は何か？ また、これは凸体上の平行移動不変値関数の全空間とどのように関係するか？
• RQ4 このような写像の核が、元の関数空間の代数的複雑さをどの程度反映しているか？
• RQ5 オクタニオン数的マソン＝アームペール作用素を用いて、カザルノフスキーの擬体積の高次元版を構成できるか？

主な発見

• 線形写像 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ は、凸体上の連続的平行移動不変値関数の空間において稠密な像を持つ。
• 写像 $ T $ の核は無限次元であり、凸体上でのゼロ関数に写る関数値関数の広大な空間が存在することを示している。
• 実マソン＝アームペール作用素を用いた凸関数上の値関数の構成により、連続的かつ値関数の性質を満たす関数型が得られ、ブロッキーおよびアレクサンドロフによって確立された。
• 複素数、クaternion数、オクタニオン数のマソン＝アームペール作用素を用いた類似の構成により、線形汎関数の加法性に関して不変な凸関数上の連続的値関数が得られる。
• 2変数のオクタニオン数的関数に対して、オクタニオン数的ヘッシアンの混合行列式は符号付き測度を定め、コンパクト台付き関数との積分により連続的値関数を生成する。
• サポート関数に制限した場合、得られる凸体上の値関数は互いに比例し合い、カザルノフスキーの擬体積のオクタニオン数的類似物を形成する。