[論文レビュー] Value-at-Risk: The Effect of Autoregression in a Quantile Process

Khizar Qureshi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、過去のリターンおよび情報に基づいて将来のポートフォリオ損失の分位数をモデル化することにより、時変動するボラティリティおよび自己相関を明示的に取り入れた条件付き自己回帰VaR（CAViaR）モデルを提案する。主な貢献は、裾の挙動（極端な損失）が中心部の分布とは顕著に異なること、およびCAViaRがi.i.d.およびGARCHベースのモデルよりも、特に市場不安定期においてこれらのダイナミクスをよりよく捉えられることを示したことである。

ABSTRACT

Value-at-Risk (VaR) is an institutional measure of risk favored by financial regulators. VaR may be interpreted as a quantile of future portfolio values conditional on the information available, where the most common quantile used is 95%. Here we demonstrate Conditional Autoregressive Value at Risk, first introduced by Engle, Manganelli (2001). CAViaR suggests that negative/positive returns are not i.i.d., and that there is significant autocorrelation. The model is tested using data from 1986- 1999 and 1999-2009 for GM, IBM, XOM, SPX, and then validated via the dynamic quantile test. Results suggest that the tails (upper/lower quantile) of a distribution of returns behave differently than the core.

研究の動機と目的

• 従来のVaRモデルがi.i.d.リターンを仮定し、金融リターンにおける時変動ボラティリティおよび自己相関を捉えられないという限界を是正すること。
• 過去のリターンおよび情報の関数としてVaRの進化をモデル化する条件付き分位数回帰フレームワーク—CAViaR—を構築し、動的リスク評価を可能にすること。
• 米国株式および市場インデックスデータ（GM、IBM、XOM、SPX）を用いた2期間（1986–1999および1999–2009）における実証的検証を通し、裾のリスクダイナミクスに焦点を当てること。
• リターン分布の裾が中心部とは異なる挙動を示すことが実証され、条件付きで自己回帰的に分位数をモデル化する必要性が裏付けられること。
• 弱い依存性および条件付き異分散性の仮定のもとで、理論的裏付けがあり、一貫性があり、漸近的に正規分布に従うVaR推定量を提供すること。

提案手法

• CAViaRを条件付き自己回帰分位数モデルとして定式化：$ f_t(\beta) = \beta_0 + \sum_{i=1}^q \beta_i f_{t-i}(\beta) + \sum_{j=1}^r \beta_j l(x_{t-j}) $、ここで$ f_t(\beta) $は時刻$ t $における予測されたVaRを表す。
• パラメータ推定のため、経験的リスクを最小化する目的で分位数回帰損失関数$ q_t(\beta) = [\theta - I(y_t < f_t(\beta))](y_t - f_t(\beta)) $を用いる。
• 残差がi.i.d.であり、条件付き分位数性を満たすかを検証するため、動的分位数（DQ）検定を採用する。
• 連続性のある$ f_t(\beta) $、誤差の stationarity、および有界な条件付き密度を含む正則性条件のもとで、一貫性および漸近正規性の証明を実施する。
• 非i.i.d.および異分散条件においても、強固な最適化を確保するため、ヘッセ行列推定および局所的推論技術を用いる。
• 数値的安定性および高次元パrameter空間における収束性を向上させるために、コスト正則化および内点法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き分位数過程における自己回帰的ダイナミクスの組み込みが、i.i.d.またはGARCHベースのモデルと比較して、VaR予測をどのように改善するか？
• RQ2 リターン分布の上側および下側の裾は、中心部とは異なった挙動を示すのか、特に持続性およびボラティリティクラスタリングの観点から？
• RQ3 弱い依存性および非楕円型誤差分布のもとで、条件付き自己回帰的VaRモデルが真の分位数を一貫して推定できるか？
• RQ4 バックテストおよび動的分位数検定による測定において、CAViaRモデルは金融危機期における極端な損失を標準モデルよりも効果的に捉えられるか？
• RQ5 一般な条件付き異分散性のもとで、CAViaR推定量の一貫性および漸近正規性の理論的裏付けは何か？

主な発見

• CAViaRモデルは、リターンの裾における自己相関を効果的に捉えており、極端な損失がi.i.d.ではなく、強い持続性およびクラスタリングを示すことを実証している。
• IBM、GM、XOM、SPXにおける実証的結果は、特に1999–2009年の変動が激しい時期において、CAViaRがi.i.d.およびGARCHベースのVaRモデルを著しく上回ることを示している。
• 動的分位数検定により、CAViaRの残差がi.i.d.であることが確認され、モデルの妥当性および条件付き分位数制約$ P(y_t < \text{VaR}_t | \Omega_{t-1}) = \alpha $の満たされていることが裏付けられた。
• 有界な条件付き密度および可測かつ連続な関数を含む弱い正則性条件のもとで、モデルの一貫性および漸近正規性が確立された。
• 勾配の4次モーメントが有界であり、$ \hat{c}_T / c_T \to 1 $が確率的に成り立つ条件のもとで、分散-共分散行列推定量が一貫していることが示された。
• 本研究では、要因モデルおよびポートフォリオモデルが自己回帰および均一分散性の仮定を無視していることが判明し、特に尾領域において時刻T以降にVaRが過小評価される傾向があることが分かった。