[論文レビュー] Value distribution and potential theory

Alexandre Erëmenko|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Meromorphic and Entire Functions参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ポテンシャル論的手法を用いて、Picardの定理およびNevanlinnaの第二主要定理を擬正則写像および正則曲線へ拡張し、欠落値および欠損度に関する境界を確立する。$K$-擬正則写像 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ は、$n$ および $K$ に依存する上限を持つ有限個の値しか欠落できないことを証明し、非線形除数を持つ射影空間内の曲線に対する第二主要定理の精密化版を提示する。

ABSTRACT

We describe some results of value distribution theory of holomorphic curves and quasiregular maps, which are obtained using potential theory. Among the results discussed are: extensions of Picard's theorems to quasiregular maps between Riemannian manifolds, a version of the Second Main Theorem of Nevanlinna for curves in projective space and non-linear divisors, description of extremal functions in Nevanlinna theory and results related to Cartan's 1928 conjecture on holomorphic curves in the unit disc omitting hyperplanes.

研究の動機と目的

• リーマン多様体間の擬正則写像へのPicardの定理の一般化を、ポテンシャル論的技法を用いて行う。
• 非線形除数を持つ射影空間内の正則曲線へのNevanlinnaの第二主要定理の拡張を行う。
• Nevanlinna理論における極値関数を記述し、正則曲線が超平面を欠落するというCartanの1928年の予想を解決する。
• 単位円板から値を欠落する正則写像のための定量的推定を確立し、Landauの定理を一般化する。
• 正則関数の正規族がBorel型関係を満たす場合に、Cartanの予想が高次元において成り立つかを検討する。

提案手法

• 値の欠落仮定から矛盾を導くために、ハルナックの不等式および調和関数の一意性定理に基づくスケーリング論法を用いる。
• 擬正則ポテンシャル論における調和関数の一般化である$A$-調和関数を用い、$f$ が $a$ を欠落するとき $\log|f-a|$ が $A$-調和であることを応用する。
• $A$-調和関数の理論を用いて、調和関数を$A$-調和関数に置き換えたスケーリング法を擬正則写像へ一般化する。
• 非ゼロの$A$-調和関数に対して、$v_j^+ = \cdots = v_m^+$、$v_i \vee v_j \geq 0$、$v_j(0) = 0$ という形の不等式を導出し、値分布を分析する。
• 定量的ポテンシャル論的推定（例：[22] より）を用いて、単位円板の設定において一意性定理の代わりに有効な境界を導入する。
• Borel型関係 $\sum f_j = 0$ を満たす正則関数の正規族を分析するために、C-類の概念を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル論的手法を用いて、リーマン多様体間の擬正則写像へのPicardの定理を拡張できるか？
• RQ2 $K$-擬正則写像 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ が欠落できる値の数の鋭い上界は何か？
• RQ3 非線形除数を持つ $\mathbb{P}^n$ 内の正則曲線に対して、Nevanlinnaの第二主要定理はどのように一般化されるか？
• RQ4 正則関数の正規族が $\sum f_j = 0$ を満たす場合に、Cartanの予想は高次元において一般に成り立つか？
• RQ5 単位円板から値を欠落する正則写像に対して、Landauの定理を一般化する有効な推定を導出できるか？

主な発見

• $K$-擬正則写像 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ は、$n$ および $K$ に依存する上限を持つ有限個の値しか欠落できない。これはRickmanの定理の一般化である。
• 射影空間 $\mathbb{P}^n$ 内の正則曲線に対して、$\sum_{j=1}^q \delta(a_j,f) + \theta(f) \leq n+1$ が成り立つ。ここで $\theta(f) = \limsup_{r\to\infty} \frac{N_1(r,f)}{T(r,f)}$ である。
• $n=1$ のとき、$\theta(f) = 0$ は、有限の下位型関数に対して $\sum \delta(a,f) = 2$ と同値である。
• 一般に $p \geq 5$ に対して、Cartanの予想は誤りであるが、$\mathbb{P}^3$ において5つの平面を欠落する写像に対して、修正版（予想B）は成り立つ。
• $p=5$ のとき、予想Bは証明された：$r_p < 1$ が存在し、$|z| < r_p$ の範囲でCartanの予想の結論が成り立つ。
• $A$-調和関数を用いたスケーリング法により、$m$ 個の値が欠落すると仮定すると矛盾が生じる。これにより、$m$ がポテンシャル論的不等式が示す上限を超えることはないことが示される。