[論文レビュー] Value distribution of meromorphic transforms and applications

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Jun 5, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpakto Kähler多様体間のメロモルフィック変換が、前像の等分布性を誘導するための条件を確立し、ディラック質量の正規化された引き戻しの極限が、電流の意味でゼロに収束することを証明する。主な結果として、$ d_t^{-n}(f^n)^*ω^k $ が、$ f^*\mu = d_t \mu $ を満たす確率測度 $ \mu $ に収束することを示し、$ \mu $-可積分性と、$ f $ がメロモルフィック写像であるときの指数的混合性を確立する。

ABSTRACT

A meromorphic transform between complex manifolds is a surjective mutivalued map with an analytic graph. Let $F_n$ be a sequence of meromorphic transforms from a compact Kahler manifold X into compact Kahler manifolds X_n. We give conditions which imply that the behavior of the sequence of preimages $F_n^{-1}(x_n)$ of x_n does not depend on the generic sequence of points (x_1,x_2,....). Using this formalism, we obtain sharp results on the limit distribution of common zeros, of $l$ random holomorphic sections of high powers $L^n$ of a positive holomorphic line bundle L over a projective manifold X. We consider also the equidistribution problem for random iteration of correspondences. If f is a meromorphic self correspondence of a compact Kahler manifold X, under a hypothesis on the dynamical degrees, we construct an $f^*$-invariant probability measure $μ$ such that quasi-p.s.h. functions are $μ$-integrable. Every projective manifold admits such correspondences. When f is a meromorphic map, the measure $μ$ is exponentially mixing. We give some analogous results for random iterations of correspondences. We also consider the problem of equidistribution of preimages of subvarieties for a correspondences and more precisely for polynomial automorphisms.

研究の動機と目的

• メロモルフィック変換の下での前像が電流の意味で漸近的に等分布するための条件を確立すること。
• 高次の正則ラインバンドルの正則セクションのゼロ電流の極限分布を分析すること。
• コンパクトKähler多様体間の対応列による測度の反復的引き戻しの収束を研究すること。
• メロモルフィック対応の反復から生じる不変測度 $ \mu $ を特徴づけ、そのエルゴード性および可積分性の性質を確立すること。

提案手法

• コンパクトKähler多様体間の解析的グラフを伴うメロモルフィック変換の形式的枠組みを用いて、ディラック質量の引き戻しを双次数 $ (l,l) $ の電流として定義する。
• 標本点 $ x_n $ のランダムネスをモデル化するため、無限積空間 $ \mathbf{X} = \prod_{n \geq 1} X_n $ 上に積測度 $ \sigma $ を導入する。
• 準シュバリック関数のサブレベル集合の測度の減衰を制御するため、Ruelle-Perron-Fröbenius法によるスペクトルギャップ型の議論を適用する。
• $ R_1 $-ノルムと指数的集中不等式の概念を用いて、関数がその平均から逸脱する集合の測度を評価する。
• Fubiniの定理と条件付き測度に関する反復的推定を用いて、積空間における例外的集合の測度を制御する。
• 正則閉電流の理論と $ dd^c $-作用素を用いて、準シュバリック関数の曲率を制御し、$ \mu $-可積分性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \sigma $-ほとんど everywhere な列 $ (x_n) \in \mathbf{X} $ に対して、正規化された引き戻しの差分 $ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] $ が電流の意味でゼロに収束する条件は何か？
• RQ2 列 $ \frac{1}{d(F_n)}(F_n)^*\delta_{x_n} $ が極限測度に収束する条件は何か？
• RQ3 $ d_t^{-n}(f^n)^*\omega^k $ の極限として得られる不変測度 $ \mu $ は何か？ その力学的性質および可積分性は？
• RQ4 正則ラインバンドルの曲率形式 $ \omega $ と関連して、$ L^n $ の確率的正則セクションのゼロ電流の等分布性はどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $ \sigma $-ほとんど everywhere な列 $ (x_n) \in \mathbf{X} $ に対して、正規化されたディラック質量の引き戻しの差分は電流の意味でゼロに収束する：$ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] \to 0 $。
• 極限測度 $ \mu $ は、メロモルフィック対応 $ f $ のトポロジカル次数 $ d_t $ を用いて $ f^*\mu = d_t \mu $ を満たす。
• 準シュバリック関数は $ \mu $-可積分であり、$ f $ がメロモルフィック写像であるとき、測度 $ \mu $ は指数的混合性を示す。
• $ L^n $ の確率的正則セクションに対して、正規化されたゼロ電流 $ \frac{1}{n}[Z_{s_n}] $ は $ \sigma $-ほとんど surely に曲率形式 $ \omega $ に収束する。
• 多射影的設定 $ \mathbb{P}^{k,l} $ において、$ R_1 $-ノルムは $ c(1 + \log k) $ で有界であり、集中関数は $ \Delta \leq c k^m \exp(-\alpha t) $ のように指数的に減少する。
• 集中推定における定数は、$ k $ に依存せず、因子の数 $ l $ のみに依存するため、次元にわたる一様な制御が可能である。