[論文レビュー] Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients

Pieter Moree, Huib Hommersom|ArXiv.org|Jul 27, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Ramanujan和 $ c_n(k) $ および円分多項式の係数 $ a_n(k) $ の値分布を、$ n $ や素数 $ p $ が変化する際に調査する。1970年のMöllerによる $ a_n(k) $ の平均に関する予想を反証し、原始根の対称関数とこれらの算術的対象との関係を確立し、それらの分布の漸近的・数値的解析を、素数を法として行った。

ABSTRACT

The Ramanujan sum c_n(k) and a_n(k), the kth coefficient of the nth cyclotomic polynomial, are completely symmetric expressions in terms of primitive nth roots of unity. For fixed k we study the value distribution of c_n(k) (following A. Wintner) and a_n(k) (partly following H. Moller). In particular we disprove a 1970 conjecture of H. Moller on the average (over n) of a_n(k). We show that certain symmetric functions in primitive roots considered by the Dence brothers are related to the behaviour of c_{p-1}(k) and a_{p-1}(k) as p ranges over the primes and study their value distribution as well. This paper is an outgrowth of the M.Sc. thesis project of the second author, carried out under the supervision of the first author at the Korteweg-de Vries Institute (University of Amsterdam) and is written in M.Sc. thesis style. We gratefully acknowledge numerical assistance by Yves Gallot.

研究の動機と目的

• 素数を法とする原始根の対称関数の値分布に関する未解決問題を、Dence兄弟が提起したものに解決すること。
• 固定された $ k $ に対して、$ n $ を変化させたときのRamanujan和 $ c_n(k) $ および円分多項式係数 $ a_n(k) $ の統計的挙動を調査すること。
• 解析的・数値的手法を用いて、1970年にH. Möllerが提起した $ a_n(k) $ の平均値に関する予想を反証すること。
• 原始根の対称関数とRamanujan和や円分多項式といった基本的な数論的対象との間の関係を確立すること。
• 素数 $ p $ を法とする $ s_k(p) $ および $ S_k(p) $ の値分布について包括的な研究を提供すること。ここで $ s_k(p) $ および $ S_k(p) $ はそれぞれ、$ p $ を法とする原始根の初等対称関数およびべき和である。

提案手法

• 解析的整数論的手法を用いて、WintnerのRamanujan和の密度および成長順序に関する研究を再評価し、適応する。
• Dirichlet畳み込みおよび乗法的関数論を用いて、$ c_n(k) $ および $ a_n(k) $ の算術的構造を分析する。
• Möbius反転および単位根の性質を用いて、原始根の対称関数の正確な表現を導出する。
• Yves Gallotの支援を得た数値計算を用いて、$ a_n(k) $ および $ c_n(k) $ を小規模な $ k $ について評価し、経験的分布解析を可能にする。
• $ s_k(p) \bmod p $ および $ S_k(p) \bmod p $ の分布を、Ramanujan和および円分多項式係数に関連付けることで分析する。
• Artinの原始根予想およびMirskyの平方因子自由シフト素数に関する定理の結果を応用し、値分布の確率的モデルを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $ p $ を動かすとき、$ s_k(p) \bmod p $ がどのような値をとり、それぞれどの程度の頻度で現れるか？
• RQ2 $ S_k(p) \bmod p $ の漸近的分布は何か？また、Ramanujan和とどのように関係するか？
• RQ3 $ a_n(k) $ の平均値は $ n $ を動かす際にどのように振る舞うか？また、Möllerの1970年の予想を支持するか？
• RQ4 原始根の対称関数と円分多項式の係数との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $ s_2(p) \bmod p $ が $ \{-1, 0, 1\} $ に値をとる相対頻度の極限は何か？また、最初の $ 10^6 $ 個の素数における観測比率に収束するか？

主な発見

• 本稿は、Möllerの1970年の予想（$ a_n(k) $ の $ n $ における平均が有界である）を反証した。平均が対数的に増大し、一様に有界ではないことを示した。
• $ k=2 $ の場合、最初の $ 10^6 $ 個の素数における $ s_2(p) \bmod p $ の値分布は、約 $ 9.39\%: 62.62\%: 27.98\% $ の比率に収束し、極限がそれぞれ $ 1/11 \% $、$ 7/11 \% $、$ 3/11 \% $ であるという予想を支持する。
• $ s_k(p) \bmod p $ の分布はRamanujan和 $ c_{p-1}(k) $ に関係しており、値が小さな有限集合に制限されることを示した。
• $ n $-番目の円分多項式における $ k $-次の項の係数 $ a_n(k) $ を、小規模な $ k $ について数値的に分析し、$ n \bmod 60 $ および $ n=59,60,61 $ に対して正確な有理数値を計算した。
• $ n=61 $ の場合、$ a_n(k) $ の分布を高精度で計算した。$ V_{61}[+1] \bmod 1 $ が約 $ 0.172966 $ であることが判明し、分布が一様でないことが示された。
• 本稿は、$ S_k(p) \bmod p $、すなわち $ p $ を法とする原始根の $ k $ 乗和が、Ramanujan和と密接に関係しており、非一様ではあるが予測可能な分布を示すことを確立した。