[論文レビュー] Value distribution of the hyperbolic Gauss maps for flat fronts in hyperbolic three-space

Yu Kawakami|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2009

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双曲的3次元空間内の完全平坦フロントの超曲面ガウス写像の完全分岐値数に対する有効な推定を確立し、特定の位相的状況における例外値の数に対する上界を導出する。さらに、指定されたガウス写像の挙動を持つ完全平坦フロントの新しい例を構成し、幾何学的および複素解析的技法を用いて、これらの曲面の値分布論を前進させる。

ABSTRACT

We give an effective estimate for the totally ramified value number of the hyperbolic Gauss maps of complete flat fronts in the hyperbolic three-space. As a corollary, we give the upper bound of the number of exceptional values of them for some topological cases. Moreover, we obtain some new examples for this class.

研究の動機と目的

• 双曲的3次元空間内の完全平坦フロントの双曲的ガウス写像の値分布を研究すること。
• ネヴァンリンナ理論における欠損関係に類似した、これらの写像の完全分岐値数に対する有効な推定を提供すること。
• 特定の位相的構成における例外値の数に対する上界を導出すること。
• 制御された双曲的ガウス写像の挙動を持つ完全平坦フロントの新しい例を構成すること。
• このクラスの曲面に対するフジモト＝ホフマン＝オッサーマン問題を調査すること。

提案手法

• H³における平坦フロントのウェイエルシュトラス型表現公式を用い、双曲的ガウス写像としてパラメータ化された、2つのメラモーレック関数の組を用いる。
• 一般化されたオッサーマン型不等式を適用して、ガウス写像の分岐および例外値を制約する。
• 留数計算およびホフフ微分の位数解析を含む複素解析的技法を用いて、端の完全性および埋め込み性を検証する。
• 微分 $ \frac{dG}{G - G_*} $ を用いた周期条件を用いて、良好に定義された平坦フロントの存在を保証する。
• 定理1.1を適用して、周期および分岐条件を満たす与えられたガウス写像から平坦フロントを構成する。
• 完全性および端の正則性を検証するため、標準形 $ \omega $, $ \theta $ およびホフフ微分 $ Q $ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H³における完全平坦フロントの双曲的ガウス写像の完全分岐値数 $ \nu_G $ に対する有効な上界は何か？
• RQ2 特定の位相的状況において、このような曲面の双曲的ガウス写像が持てる例外値の数は最大で何個か？
• RQ3 所望の分岐および例外値構造を持つ完全平坦フロントの新しい例を構成できるか？
• RQ4 すべてのこのような平坦フロントに共通する例外値の最大数は何か（フジモト＝ホフマン＝オッサーマン問題に対応）？
• RQ5 平坦フロントの端が正則的かつ埋め込まれているのはどのような条件下か？

主な発見

• 双曲的ガウス写像の完全分岐値数 $ \nu_G $ に対する有効な推定が確立され、その下界は幾何的不変量で表される。
• $ d + d_* = 4 $ である完全平坦フロントに対して、可能なペア $ (d, d_*) $ は $ (1,3), (2,2), (3,1) $ であり、それぞれのケースに対して例が存在する。
• genus 0 で $ (d, d_*) = (3,2) $、5つの正則的で埋め込まれた端を持つ完全平坦フロントが構成され、その際 $ \nu_G = 3 $ かつ $ \nu_{G_*} = 2 $ である。
• genus 0 で $ (d, d_*) = (3,2) $、5つの正則的で埋め込まれた端を持つ完全平坦フロントが構成され、その際 $ \nu_G = 2 $ かつ $ \nu_{G_*} = 1 $ である。
• genus 1 で $ (d, d_*) = (2,4) $、5つの正則的だが非埋め込みの端を持つ完全平坦フロントが構成され、$ d + d_* > k $ ならば非埋め込み性が生じることを示している。
• genus 1 で $ (d, d_*) = (3,2) $ の例は、$ d + d_* = k $ の条件下で5つの正則的で埋め込み可能な端が存在することを確認している。