[論文レビュー] Value Distribution Theory for Parabolic Riemann Surfaces

Mihai Păun, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Meromorphic and Entire Functions参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、パラボリックなリーマン面へのネヴァンリンナ理論の拡張を試み、値分布における重み付きオイラー標跡項を導入する。パラボリックなリーマン面でオイラー標跡が有限で面積が無限大であるような正則写像が一般型多様体へ写される場合、その写像はジェット微分方程式を満たすことが証明され、ブロッハの定理の一般化および、$c_1^2 > c_2$ を満たす表面におけるグリーン＝グリフィス予想への応用が得られる。主な貢献は、パラボリック幾何とネヴァンリンナカレントを用いた整関数曲線のザリスキ密値の研究のための新フレームワークの構築である。

ABSTRACT

We survey several results in value distribution theory for parabolic Riemann surfaces. Let Y be a parabolic Riemann surface, i.e. subharmonic functions defined on Y are constant. We discuss Nevanlinna's theory for holomorphic maps f from Y to the projective line. The results we obtain parallel the classical case Y is the complex line, as we describe now. Let X be a manifold of general type, and let A be an ample line bundle on X. It is known that there exists a holomorphic jet differential P (of order k) with values in the dual of A. If the map f has infinite area and if Y has finite Euler characteristic, then we show that f satisfies the differential relation induced by P. As a consequence, we obtain a generalization of Bloch Theorem concerning the Zariski closure of maps f with values in a complex torus. An interesting corollary of these techniques is a refined Ax-Lindemann theorem, for which we give a quick proof. We then study the degree of Nevanlinna's current T[f] associated to a parabolic leaf of a foliation F by Riemann surfaces on a compact complex manifold. We show that the degree of T[f] on the tangent bundle of the foliation is bounded from below in terms of the counting function of f with respect to the singularities of F, and the Euler characteristic of Y. In the case of complex surfaces of general type, we obtain a complete analogue of McQuillan's result: a parabolic curve of infinite area and finite Euler characteristic tangent to F is not Zariski dense.

研究の動機と目的

• 複素平面からパラボリックなリーマン面へ古典的ネヴァンリンナ理論を一般化すること、ここには穴あきコンパクトなリーマン面が含まれる。
• パラボリックなリーマン面から射影的多様体への正則写像の値分布を、特にジェット微分方程式およびハイパーオリシティの観点から研究すること。
• ネヴァンリンナ理論的技法を用いて、超越的アフィン多様体に対する修正されたアックス＝リンダーマンの定理を確立すること。
• コンパクト複素多様体上の正則foliationに接するパラボリック曲線に関連するネヴァンリンナカレントの次数を分析すること。
• 対称微分形式と消失定理を用いて、$c_1^2 > c_2$ を満たす最小の一般型表面に対するグリーン＝グリフィス予想の新たな証明を提供すること。

提案手法

• パラボリックなリーマン面 $\mathcal{Y}$ を、$\sigma$ を exhaustion 関数として持ち、$\log\sigma$ がコンパクト集合の外で調和的であり、$\int_{\mathcal{Y}} dd^c \log\sigma = 1$ を満たすように選ぶ。これにより、レベル集合上に確率測度が定義される。
• この $\mathcal{Y}$ 上でネヴァンリンナ理論を適用し、カウント関数および特徴関数に重み付きオイラー標跡 $\chi_\sigma(t)$ を導入することで、古典的公式を修正する。
• 一般型多様体 $X$ 上の非常に正則なラインバンドル $A$ の双対値をとる $k$ 階のジェット微分方程式 $P$ を用い、$\mathcal{Y}$ から $X$ への無限大面積かつ有限オイラー標跡を持つ正則写像 $f$ に対して、このような $P$ が消えることを示す。
• 写像 $f$ に関連するネヴァンリンナカレント $T[f]$ を構成し、正則foliation $\mathcal{F}$ の接バンドルおよび法バンドル上でのその次数を研究し、カウント関数および $\chi_\sigma(t)$ を用いた下界を証明する。
• ブルネラのインデックス定理および消失定理を適用し、$S^m T^*_X \otimes L$ の切断に対して $\int_X T[f] \wedge c_1(L) \geq 0$ が成り立つことを示し、$f$ がザリスキ密であると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• グリーン＝グリフィス予想を、$m$ が十分に大きいとき $H^0(X, S^m T^*_X \otimes A^{-1}) \neq 0$ であることに帰着させ、ボゴモロフの結果を用いて、$c_1^2 > c_2$ を満たす表面に対して証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネヴァンリンナ理論は複素平面から一般のパラボリックなリーマン面へ拡張可能か？また、重み付きオイラー標跡は古典的結果にどのように影響を与えるか？
• RQ2 パラボリックなリーマン面 $\mathcal{Y}$ から一般型多様体 $X$ への正則写像 $f: \mathcal{Y} \to X$ がジェット微分方程式を満たす条件は何か？
• RQ3 $f$ のザリスキ密値性と、対称微分形式に関連するラインバンドル $L$ に対して $\int_X T[f] \wedge c_1(L)$ が非ゼロであるという関係の正確な関係は何か？
• RQ4 正則foliation $\mathcal{F}$ の接バンドル上でのネヴァンリンナカレント $T[f]$ の次数は、カウント関数および $\mathcal{Y}$ のオイラー標跡とどのように関係するか？
• RQ5 対称微分形式とネヴァンリンナ理論的制約を用いて、$c_1^2 > c_2$ を満たす一般型表面に対するグリーン＝グリフィス予想を証明できるか？

主な発見

• パラボリックなリーマン面 $\mathcal{Y}$ が有限オイラー標跡であり、正則写像 $f: \mathcal{Y} \to X$ が一般型多様体 $X$ へ無限大面積で写される場合、非ゼロの切断 $P$ を持つ $S^k T^*_X \otimes A^{-1}$ によって誘導されるジェット微分方程式を満たす。ここで $A$ は非常に正則なラインバンドルである。
• 正則foliation $\mathcal{F}$ の接バンドル上でのネヴァンリンナカレント $T[f]$ の次数は、$\mathcal{F}$ の特異点に関する $f$ のカウント関数およびパラボリックボールのオイラー標跡 $\chi_\sigma(t)$ を含む項によって下から抑えられる。
• 超越的アフィン多様体に対して修正されたアックス＝リンダーマンの定理が証明され、パラボリックなリーマン面からそのような多様体への正則写像の像のザリスキ閉包が代数的であることが示された。
• $c_1^2 > c_2$ を満たす一般型複素表面に対して、無限大面積かつ有限オイラー標跡を持つパラボリック曲線がfoliation $\mathcal{F}$ に接する場合、その曲線はザリスキ密でない。これはマククィランの結果の一般化である。
• 対称微分形式と消失定理を用いて、$c_1^2 > c_2$ を満たす最小の一般型表面に対してグリーン＝グリフィス予想を証明した。$L = A^{-1}$ かつ $H^0(X, S^m T^*_X \otimes A^{-1}) \neq 0$ である $m$ が十分に大きいとき $\int_X T[f] \wedge c_1(L) \geq 0$ を示し、$f$ がザリスキ密であると仮定すると矛盾が生じる。
• 予想として、$\mathfrak{X}_\sigma(r) = o(T_f(r))$ のとき、すべての $L$ に対して $\int_X T[f] \wedge c_1(L) \geq 0$ が成り立つ、すなわち $H^0(X, E_{k,m}T^*_X \otimes L) \neq 0$ ならば、グリーン＝グリフィス予想の一般化が成り立つと提唱された。