[論文レビュー] Valued Deformations of Algebras

Michel Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|Oct 31, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、係数環として付値環を用いることで、Gerstenhaber や Fialowski の無限小変形を一般化する有限で収束性を要しない変形である「値付き変形」を導入する。主な貢献は、すべての値付き変形が、収束性に起因する問題を避けるために、有限個の比較可能な無限小成分に分解されることを示す定理である。

ABSTRACT

We develop the notion of deformations using a valuation ring as ring of coefficients. This permits to consider in particular the classical Gerstenhaber deformations of associative or Lie algebras as infinitesimal deformations and to solve the equation of deformations in a polynomial frame. We consider also the deformations of the enveloping algebra of a rigid Lie algebra and we define valued deformations for some classes of non associative algebras.

研究の動機と目的

• 形式的冪級数環を付値環に置き換えることで、古典的変形理論を一般化すること。
• 変形が無限小成分の有限和に分解されることを保証することで、変形理論における収束問題を解消すること。
• 特に G-結合的およびリー可適代数を含む非結合的代数への変形枠組みの拡張すること。
• 値付き変形アプローチを用いて、剛性リー代数の包あらわし代数の変形を定義し、研究すること。
• 付値環上のポisson代数に対してテンソル積構造を確立し、新たな変形構成を可能にする。

提案手法

• 付値環 A（例：K[[t]]）を変形の係数環として用い、その残留体が K に同型となるようにして、A-リー代数 g_A を定義する。
• 値付き変形を、A の極大イデアル m に対して g⊗m に属する元との差を持つ g_A 上のリー代数構造として定義する。
• 分解定理を適用し、任意の値付き変形を m×m 内の互いに比較可能な無限小変形の有限和として表現する。
• 自然な射影 π: A → A/m ≅ K を用いて m 内の要素を比較し、付値の性質を活用してグローバルセクションを構成し、有限分解を可能にする。
• 包あらわし代数の変形に理論を適用し、剛性リー代数の変形が普遍包あらわし代数のレベルに持ち上がることを示す。
• オペラッド双対性を用いて G-結合的およびリー可適代数へ拡張し、外部テンソル積を G!-代数と組み合わせて変形を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 付値環を用いることで、形式的冪級数を含まない有限な枠組みに、古典的無限小変形（例：Gerstenhaber や Fialowski）を埋め込むことは可能か？
• RQ2 一般の値付き変形を、収束性の問題を避けるために、比較可能な無限小成分の有限和に分解することは可能か？
• RQ3 係数環として付値環を用いた剛性リー代数の包あらわし代数の変形の構造はいかなるものか？
• RQ4 付値環を用いることで、G-結合的やリー可適代数といった非結合的代数への変形の概念を拡張することは可能か？
• RQ5 オペラッド双対性は、付値環上の非結合的代数の変形を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の付値環 A 上のリー代数の値付き変形は、m×m 内の無限小変形の有限和に分解され、成分同士が付値により比較可能であるため、無限級数を回避できる。
• A = K[[t]] のとき、古典的 Gerstenhaber 変形と、A = K ⊕ (H²(g,g))∗ のとき、Fialowski の普遍無限小変形は、いずれも値付き変形の特別な場合である。
• 剛性リー代数 g に対して、その普遍包あらわし代数 Ug の変形は、A 上の値付き変形に持ち上がり、g⊗A 上のリー代数構造を保存する。
• 可換付値環（例：C[[t]]）とポアソン代数のテンソル積は自然にポアソン代数構造を備え、新たな変形構成を可能にする。
• 任意の部分群 G ≤ Σ₃ に対して、G-結合的代数の圏は G!-代数（双対オペラッド）を用いて変形可能であり、A が G-結合的で B が G!-結合的であれば、A⊗B は G-結合的代数となる。
• ポアソン代数のブラウアー群は、結合的代数の場合と同様に定義可能であり、行列代数 M_n(C) をポアソン代数とみなすと、逆元は反対代数によって与えられる。