[論文レビュー] Values of E-functions are not Liouville numbers

Stéphane Fischler, Tanguy Rivoal|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2023

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、E-関数の代数的点における値について、定量的線形独立性測度を確立し、有理係数や特異点でない点に制限されないシドロフスキーの定理を拡張する。このような値がリウヴィル数でないことを証明し、長年の未解決問題を解消する。ここでは、改良されたE作用素理論とガロア降下技術を用いる。

ABSTRACT

Shidlovskii has given a linear independence measure of values of $E$-functions with rational Taylor coefficients at a rational point, not a singularity of the underlying differential system satisfied by these $E$-functions. Recently, Beukers has proved a qualitative linear independence theorem for the values at an algebraic point of $E$-functions with arbitrary algebraic Taylor coefficients. In this paper, we obtain an analogue of Shidlovskii's measure for values of arbitrary $E$-functions at algebraic points. This enables us to solve a long standing problem by proving that the value of an $E$-function at an algebraic point is never a Liouville number. We also prove that values at rational points of $E$-functions with rational Taylor coefficients are linearly independent over $\overline{\mathbb{Q}}$ if and only if they are linearly independent over $\mathbb{Q}$. Our methods rest upon improvements of results obtained by André and Beukers in the theory of $E$-operators.

研究の動機と目的

• E-関数の任意の代数的係数に対するシドロフスキーの定量的線形独立性測度を拡張すること。
• E-関数値のディオファントス近似において、評価点 z₀ が非特異であることの仮定を除去すること。
• E-関数値がリウヴィル数である可能性があるかどうかという未解決問題を解消すること。
• ガロア降下を用いて、Q 上の線形独立性と数体上での線形独立性の基準を確立すること。

提案手法

• アンドレおよびブルクスのE作用素に関する改良結果を適用し、微分方程式系の解の成長を制御する。
• ガロア降下の議論を用いて、Q 上の線形従属を数体上での従属に関連付ける。
• ベルトラン＝ブルクスの多重度推定を用いて、E-関数値の線形形式に対する有効な下界を導出する。
• ガロア共役を用いたノルムに基づく下界を導入し、代数的数に対するリウヴィルの方法に類似させる。
• 数体 K に係数をもつE-関数のベクトルを構成し、定理1を一様に適用する。
• f(z₀) の近似問題を、新しい測度を用いた線形形式 λ₁f₁(z₀) + ⋯ + λₙfₙ(z₀) の有界化に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E-関数の代数的点における値がリウヴィル数である可能性はあるか？
• RQ2 任意の数体上で有効であり、非特異性の仮定を必要としないE-関数値の定量的線形独立性測度は存在するか？
• RQ3 代数的点におけるE-関数値について、Q 上の線形独立性と数体上での線形独立性は同値か？
• RQ4 シドロフスキーの測度は、有理係数や特異点を越えて拡張可能か？

主な発見

• 任意の代数的点におけるE-関数の値はリウヴィル数ではなく、長年の未解決問題を解決する。
• 任意の数体 K、代数的点 z₀ ∈ K、係数が K に属するE-関数ベクトル f に対して、線形形式 Λ = ∑λⱼfⱼ(z₀) は、任意の ε > 0 に対して |Λ| > cH⁻ᵈᴺᵈ⁺¹⁻ᵝ を満たす。ここで H = max|λⱼ| である。
• 定数 c > 0 は ε、K、z₀、およびE-関数ベクトルに有効に依存するが、明示的に計算されていない。
• Q 上でのE-関数値の線形独立性は、任意の数体 K 上での線形独立性と同値である。
• 証明技法は、代数的整数をE-関数値に置き換え、ノルムをガロア平均に置き換えることで、リウヴィルの方法を一般化する。
• 本結果は、任意の数体に対して、ブルクスの定性的線形独立性定理の最初の有効な定量的バージョンを確立する。