[論文レビュー] Vanishing-Error Approximate Degree and QMA Complexity

Alexander A. Sherstov, Justin Thaler|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、要素の同一性の特定、全射性、置換テストという3つの基本的なブール関数の消える誤差を伴う近似次数について、タイトな境界を確立している。それぞれのスケーリングは $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$、$\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$、$\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$ である。さらに、この近似次数を量子メルリンク・アーティスト（QMA）クエリ複雑度に関連付けることで、置換テストに対して $\Omega(n^{1/4})$ の下界を証明し、従来の $\Omega(n^{1/6})$ の下界を著しく改善した。

ABSTRACT

The $ε$-approximate degree of a function $f\colon X o \{0, 1\}$ is the least degree of a multivariate real polynomial $p$ such that $|p(x)-f(x)| \leq ε$ for all $x \in X$. We determine the $ε$-approximate degree of the element distinctness function, the surjectivity function, and the permutation testing problem, showing they are $Θ(n^{2/3} \log^{1/3}(1/ε))$, $ ildeΘ(n^{3/4} \log^{1/4}(1/ε))$, and $Θ(n^{1/3} \log^{2/3}(1/ε))$, respectively. Previously, these bounds were known only for constant $ε.$ We also derive a connection between vanishing-error approximate degree and quantum Merlin--Arthur (QMA) query complexity. We use this connection to show that the QMA complexity of permutation testing is $Ω(n^{1/4})$. This improves on the previous best lower bound of $Ω(n^{1/6})$ due to Aaronson (Quantum Information & Computation, 2012), and comes somewhat close to matching a known upper bound of $O(n^{1/3})$.

研究の動機と目的

• 任意の十分に小さい $\epsilon > 0$ に対して、要素の同一性の特定、全射性、置換テスト関数の消える誤差を伴う近似次数を特定すること。これは、従来は定数 $\epsilon$ の場合にのみ知られていた結果を拡張するものである。
• 消える誤差を伴う近似次数と量子メルリンク・アーティスト（QMA）クエリ複雑度の間の新しい関係を確立すること。
• 置換テストのQMA複雑度の下界を $\Omega(n^{1/6})$ から $\Omega(n^{1/4})$ に改善することにより、既知の上界 $O(n^{1/3})$ に近づけること。
• 特定の部分関数構造を持つ関数に対して、有界誤差近似次数の下界を消える誤差の領域へと一般化するための技術を開発すること。

提案手法

• すべての $k \leq n$ に対して $\text{AND}_k \circ f_{\lfloor n/k \rfloor}$ を部分関数として含む関数を分析することで、有界誤差近似次数の下界を消える誤差の領域へと持ち上げる新しい技術を導入する。
• 対称化と置換における多項式平均化を用いて、入力の対称性を保ちながら誤差境界を維持する低次の近似多項式を構築する。
• QMAクエリプロトコルと低次の多項式との間の関係を活用し、Marriott-Watrousのアンプリフィケーション技法の変種を用いて、誤差と次数を制御した多項式表現を導出する。
• 近似次数の下界を応用し、片側近似次数とクエリコストの比較によってQMAクエリ複雑度の下界を導出する。
• Bealsらによって確立された事実（$T$ クエリの量子アルゴリズムの受理確率は次数 $2T$ の多項式である）を活用し、QMAプロトコルと低次の多項式との関係を明確にする。
• 量子クエリ下界と $\epsilon < 1/3^n$ のための補間論法を用いて、境界の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の十分に小さい $\epsilon$ に対して、要素の同一性の特定関数の正確な消える誤差を伴う近似次数は何か？
• RQ2 全射性と置換テストの消える誤差を伴う近似次数は、定数 $\epsilon$ の領域を超えてタイトに特徴付けられるか？
• RQ3 構造的関数に対して、有界誤差近似次数の下界を消える誤差の領域へと一般化するための一般的な手法は存在するか？
• RQ4 消える誤差を伴う近似次数は、特にQMA複雑度において、量子クエリ複雑度とどのように関係するか？
• RQ5 置換テストの $\Omega(n^{1/4})$ のQMA下界と $O(n^{1/3})$ の上界のギャップは、閉じられるか？

主な発見

• 要素の同一性の特定の $\epsilon$-近似次数は $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$ であり、既存の最良の構成と一致し、最適性が証明された。
• 全射性の $\epsilon$-近似次数は $\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$ であり、誤差が消える領域にまで既存の結果を拡張した。
• 置換テストの $\epsilon$-近似次数は $\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$ であり、量子クエリの議論によってタイトであることが示された。
• 置換テストのQMAクエリ複雑度は $\Omega(n^{1/4})$ であり、従来の $\Omega(n^{1/6})$ の下界を改善した。
• k-要素の同一性の特定に関して、$\epsilon$-近似次数は $\tilde{\Omega}(n^{3/4 - 1/(2k)} \log^{1/4 + 1/(2k)}(1/\epsilon))$ であり、既知の上界に近づいた。
• 本稿では、近似次数の標準的な誤差低減法が、サブ線形な近似次数を持つ任意の関数に対してタイトであるとはまだ知られていないこと、すなわち分野における未解決問題であることを示した。