[論文レビュー] Vanishing Hachtroudi curvature and local equivalence to the Heisenberg sphere

Joël Merker|ArXiv.org|Oct 15, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実解析的超曲面の擬球面的性質を、Segre多様体にHachtroudiの曲率消滅条件を適用することにより、$\mathbb{C}^{n+1}$（$n+1 \geqslant 3$）における有効な微分的特徴付けを提供する。この超曲面が局所的にヘイゼンベルクの擬球面にbiholomorphicであるための必要十分条件は、関連する2階偏微分方程式系のHachtroudi曲率が消えることである。これにより、定義関数に関する明示的な4階偏微分方程式条件が得られる。

ABSTRACT

To any completely integrable second-order system of real or complex partial differential equations in n > 1 independent variables and in one dependent variable, Mohsen Hachtroudi associated in 1937 a normal projective (Cartan) connection, and he computed its curvature. By means of a natural transfer of jet polynomials to the associated submanifold of solutions, what the vanishing of the Hachtroudi curvature gives can be precisely translated in order to characterize when both families of Segre varieties and of conjugate Segre varieties associated to a Levi nondegenerate real analytic hypersurface M in C^{n+1} can be straightened to be affine complex (conjugate) hyperplanes. In continuation to a previous paper devoted to the quite distinct C^2-case, this then characterizes in an effective way those hypersurfaces of C^{n+1} in higher complex dimension n+1 > 2 that are locally biholomorphic to a piece of the (2n+1)-dimensional Heisenberg sphere, without any special assumption on their defining equations.

研究の動機と目的

• 実解析的超曲面が$\mathbb{C}^{n+1}$（$n+1 \geqslant 3$）において局所的にヘイゼンベルクの擬球面にbiholomorphicである条件を、有効な微分幾何的特徴付けで与えること。
• 2階偏微分方程式系のHachtroudiの1937年の曲率に基づく同倣理論を、高次元CR幾何の文脈に拡張すること。
• $n+1 \geqslant 3$の一般（非剛性）の場合における擬球面的性質の特徴付けという未解決問題を、従来の剛性またはチューブ型超曲面に限られた結果を超えて解決すること。
• Hachtroudi曲率の消滅を、Segre多様体および共役Segre多様体がアフィン複素直線に直線化される幾何的条件に翻訳すること。
• Chernの後続の取り扱いでは省かれたが、Hachtroudiのオリジナルで見過ごされた曲率条件を回復・適用することで、文献を補完・是正し、完全でアルゴリズム的である基準を提供すること。

提案手法

• $n \geqslant 2$個の独立変数を持つ完全可積分な2階偏微分方程式系に対して、Hachtroudiが1937年に構築した正規射影的Cartan接続を用いる。
• 実解析的超曲面の複素定義方程式から導かれる偏微分方程式系に、Hachtroudiの明示的な曲率消滅条件（$F_{k_1,k_2}$係数上の偏微分方程式系）を適用する。
• Segre多様体および共役Segre多様体がアフィン複素直線に直線化される幾何的条件を、ジェット多項式の転送を介して微分的条件に翻訳する。
• 2階微分の変換関数$G$の計算を簡略化するための行列式の恒等式（補題）を用いる。これにより、$\partial^2 G / \partial y_{x^{\ell_1}} \partial y_{x^{\ell_2}}$の閉形式表現が得られる。
• 分母$\Delta^3$を払うことで、定義関数$\Theta$に関する最終的な明示的4階偏微分方程式を導出する。ここで$\Delta$は複素ヘッシアンのヤコビアン行列式である。
• 変数変換を用いて、系$w_{z_{k_1}^\prime z_{k_2}^\prime}^\prime = 0$に適用し、Hachtroudi曲率が消えることと、ヘイゼンベルクの擬球面への局所biholomorphyが同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数空間$\mathbb{C}^{n+1}$（$n+1 \geqslant 3$）における実解析的超曲面が、いつ局所的にヘイゼンベルクの擬球面にbiholomorphicであるか。その微分的条件は何か。
• RQ2 Hachtroudiの1937年の曲率消滅条件を、高次元CR幾何の文脈に効果的に適用する方法は何か。
• RQ3 Levi非退化超曲面の定義関数$\Theta$に課される、Segre多様体および共役Segre多様体がアフィン複素（共役）直線に直線化されるという条件を特徴付ける正確な偏微分方程式条件は何か。
• RQ4 Chernの後続の研究で省かれたが、非剛性の場合の擬球面的性質の完全な特徴付けに不可欠なHachtroudiのオリジナルの曲率に基づくアプローチは、なぜ重要なのか。
• RQ5 Hachtroudi曲率の消滅を用いて、チューブ型や剛性条件を仮定せずに、ヘイゼンベルクモデルへの局所同倣性を効果的かつアルゴリズム的に特徴付けることは可能か。

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{C}^{n+1}$（$n+1 \geqslant 3$）における実解析的超曲面が、関連する2階偏微分方程式系のHachtroudi曲率が消えることと同値に、ヘイゼンベルクの擬球面に局所的にbiholomorphicであることを確立した。
• Hachtroudi曲率の消滅が、Segre多様体および共役Segre多様体がアフィン複素（共役）直線に直線化されるという幾何的条件と同値であることが示された。
• 定義関数$\Theta$に関する明示的な4階偏微分方程式条件が導出された。これは、曲率条件から分母$\Delta^3$を払ったものであり、擬球面的性質を特徴付ける。
• 主結果は、$\partial^2 G / \partial y_{x^{\ell_1}} \partial y_{x^{\ell_2}}$の閉形式表現として与えられ、代入と簡略化を経て、最終的に$\Theta$およびその微分の関数としての偏微分方程式に帰着される。
• 本研究は、Chernの後続の論文で省かれたが、Hachtroudiのオリジナルで見過ごされた曲率計算を回復・適用した。これにより、高次元における擬球面的性質の特徴付けが完全に完成した。
• 本結果は、$\mathbb{C}^{n+1}$（$n+1 \geqslant 3$）における擬球面的性質の完全で効果的かつアルゴリズム的基準を提供し、Isaevの先行研究が剛性またはチューブ型超曲面に限った文献の空白を解消した。