[論文レビュー] Vanishing moment conditions for wavelet atoms in higher dimensions

Hartmut Führ|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般の拡大群を用いた高次元におけるウェーブレット原子の明示的で検証可能な消失モーメント条件を確立し、L²(Rᵈ) やより広範なバナッハ函数空間におけるウェーブレットフレームおよびアトム分解の構築を可能にする。共役空間理論を、シェアレットや非等方的系を含む広範な拡大群クラスに適用することで、コンパクトサポートまたは減衰性を有し、ややきつい滑らかさおよびモーメント条件を満たすウェーブレットが、同型Besov空間などの滑らかさ空間を係数の重み付き ℓp,q-summability によって特徴づけるフレームを生成する統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We provide explicit criteria for wavelets to give rise to frames and atomic decompositions in ${ m L}^2(\mathbb{R}^d)$, but also in more general Banach function spaces. We consider wavelet systems that arise by translating and dilating the mother wavelet, with the dilations taken from a suitable subgroup of ${ m GL}(\mathbb{R}^d)$, the so-called {\em dilation group}.The paper provides a unified approach that is applicable to a wide range of dilation groups, thus giving rise to new atomic decompositions for homogeneous Besov spaces in arbitrary dimensions, but also for other function spaces such as shearlet coorbit spaces. The atomic decomposition results are obtained by applying the coorbit theory developed by Feichtinger and Gr\"ochenig, and they can be informally described as follows: Given a function $\psi \in { m L}^2(\mathbb{R}^d)$ satisfying fairly mild decay, smoothness and vanishing moment conditions, {\em any} sufficiently fine sampling of the translations and dilations will give rise to a wavelet frame. Furthermore, the containment of the analyzed signal in certain smoothness spaces (generalizing the homogeneous Besov spaces) can be decided by looking at the frame coefficients, and convergence of the frame expansion holds in the norms of these spaces. We motivate these results by discussing nonlinear approximation.

研究の動機と目的

• 一般の拡大群を用いた L²(Rᵈ) およびバナッハ函数空間におけるウェーブレットフレームおよびアトム分解を構築する統一的枠組みを構築すること。
• 従来のバンドリミテッドな原子構成の制限を克服し、コンパクトサポートまたは減衰性を有するウェーブレットがフレームを生成するための明示的で容易に検証可能な基準を提供すること。
• 同型Besov空間のウェーブレット特徴づけを任意次元および非dyadicな拡大群にまで拡張すること。
• 必要十分な消失モーメント条件を導出することで、実用的ウェーブレット（例：コンパクトサポート）を共役空間理論に適用可能にする。
• 一般の拡大群下でのウェーブレット系の強力な温度埋め込み性およびフレーム性質を確立し、滑らかさ空間における収束性を保証すること。

提案手法

• 一般の拡大群 H ≤ GL(Rᵈ) に関連する連続ウェーブレット変換に共役空間理論を適用し、共役空間およびアトム分解の構築を可能にする。
• 翻訳および拡大の十分に細かく一様に離散化された集合上で、ウェーブレット系がフレームを形成することを保証する、L²(Rᵈ) 内のウェーブレット ψ における明示的消失モーメント条件を導出する。
• 共役空間枠組みを用いて、滑らかさ空間（例：同型Besov空間）への属する条件が、フレーム係数の重み付き ℓp,q-和分可能性によって特徴づけられることを示す。
• アフィン群上のハール測度およびモジュラ関数の解析を用いて、温度埋め込み性およびフレーム境界の積分性条件の検証を行う。
• 補題3.2を適用し、双対軌道の推定を用いてシェアレット係数の減衰推定を導出し、温度埋め込みの十分条件を導出する。
• 重み w₀ に対して、埋め込み条件における指数 ℓ が u₁, u₂, s, c を含む特定の不等式を満たす場合、強力な (s, w₀)-温度埋め込み性が成立することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の拡大群に対して、ウェーブレット（消失モーメント、減衰性、滑らかさの観点から）が、アフィン群上での十分に細かく一様に離散化された翻訳および拡大の集合上で L²(Rᵈ) 内でフレームを形成するための明示的で検証可能な条件は何か？
• RQ2 共役空間理論をどのように応用することで、同型Besov空間のウェーブレット特徴づけを任意次元および非dyadicな拡大群に一般化できるか？
• RQ3 コンパクトサポートまたは急速に減衰する原子を有するウェーブレット系が、共役空間（シェアレット共役空間を含む）においてアトム分解を生成するための十分条件は何か？
• RQ4 一般の拡大群に対して、双対軌道の温度埋め込み性をどのように確立できるか。重み関数はこの過程でどのような役割を果たすか？
• RQ5 結果を非等方的系（例：シェアレット）にまで拡張可能か。このような系に必要な消失モーメント条件は何か？

主な発見

• 任意の十分に細かく一様に離散化されたアフィン群上の集合で、コンパクトサポートまたは減衰性、ややきつい滑らかさおよび消失モーメント条件を満たすウェーブレット ψ ∈ L²(Rᵈ) は、拡大群 H にかかわらず、フレームを生成する。
• 関数 f ∈ L²(Rᵈ) のフレーム展開が、同型Besov空間 ˙Bsₚ,ₚ(Rᵈ) のノルムで収束するための必要十分条件は、フレーム係数が重み付き ℓp,q-和分可能性を満たすことである。
• シェアレット系に対して、|Wψf(x, h)| ≤ C(1 + |x|)−m(|a| + |a|−1)−r₁(1 + |b|)−r₂ という減衰推定を導出し、十分な消失モーメントおよび滑らかさの下で有効であることを示した。
• 拡大群 H の開かれた双対軌道が、埋め込み条件における指数 ℓ が ℓ ≥ 3r₁ + (3 + 6|c|)r₂ + 6|c| + 2 を満たす場合、強力な (s, w₀)-温度埋め込み性を有する。ここで r₁ および r₂ は u₁, u₂, s, c を用いて定義される。
• d = 2 の場合、任意のウェーブレット ψ ∈ L²(R²) が2k階までの可積分な微分をもち、y軸上でk次の消失モーメントを持つならば、k ≥ 127 であれば、すべての共役空間 Co(Lᵖ(G))（1 ≤ p ≤ 2）における原子である。
• 結果は、拡大群の共役および有限指数変更に対して安定であり、次元2におけるすべての妥当な適応可能群に適用可能であることを保証する。