[論文レビュー] Vanishing moment method and moment solutions for second order fully nonlinear partial differential equations

Xiaobing Feng, Michael Neilan|ArXiv.org|Aug 13, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、2階完全非線形PDEのモーメント解を計算するための構成的アプローチとして、より高次の準線形PDEによる近似を行うための消えるモーメント法を導入する。この手法により、標準的な数値スキームを用いた収束が可能となり、モーメント解が存在する場合にそれらがバニシング解と一致することを示し、非変分的バニシング解の実用的かつ理論的根拠に基づく代替手法を提供する。

ABSTRACT

This paper concerns with numerical approximations of solutions of second order fully nonlinear partial differential equations (PDEs). A new notion of weak solutions, called moment solutions, is introduced for second order fully nonlinear PDEs. Unlike viscosity solutions, moment solutions are defined by a constructive method, called vanishing moment method, hence, they can be readily computed by existing numerical methods such as finite difference, finite element, spectral Galerkin, and discontinuous Galerkin methods with "guaranteed" convergence. The main idea of the proposed vanishing moment method is to approximate a second order fully nonlinear PDE by a higher order, in particular, a fourth order quasilinear PDE. We show by various numerical experiments the viability of the proposed vanishing moment method. All our numerical experiments show the convergence of the vanishing moment method, and they also show that moment solutions coincide with viscosity solutions whenever the latter exist.

研究の動機と目的

• 変分的構造を欠くため、従来の手法では計算が困難な2階完全非線形PDEの数値近似という長年の課題に取り組む。
• 非構成的で離散的同等性を欠くバニシング解の代替として、正則化近似プロセスを用いてモーメント解を定義することで、構成的代替を提案する。
• 有限要素法、有限差分法、および不連続ガレルキン法などの標準的手法を用いて完全非線形PDEに適用可能な体系的な数値フレームワークを提供する。
• 2次元および3次元の広範な数値実験を通じて、消えるモーメント法の収束性と精度を示し、古典的解が存在しない場合のケースも含む。
• モーメント解とバニシング解との関係を確立し、バニシング解が存在する場合にはそれらが一致することを示す。

提案手法

• 消えるモーメント法は、2階完全非線形PDEを4階の準線形PDEに近似し、極限において消える小さな正則化パラメータεを導入する。
• モーメント解は、ε → 0 の極限における正則化された4階PDEの解の極限として定義され、非構成的なバニシング解の概念とは異なり、構成的定義を提供する。
• Monge-Ampère方程式、Pucciの極値方程式、無限大ラプラシアン方程式、および放物型完全非線形PDEのクラスにこの手法を適用する。
• 混合有限要素法（例：一般化されたHermann-Miyoshi要素）、有限差分法、スペクトル法、および不連続ガレルキン法を用いて、正則化問題に対して離散化を行う。
• 複数のテスト問題、特に古典的解が存在しない3次元問題を含む、消えるモーメント法の収束性を解析および数値的に検証する。
• この手法により、バニシング解が存在する場合には計算されたモーメント解がそれと整合することが保証され、数値実験で確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階完全非線形PDEに対して、バニシング解の限界を克服する構成的かつ数値的に取り扱いやすい弱解の定義を可能にすることができるか？
• RQ2 標準的な離散化スキームを用いて、完全非線形PDEに対する収束的かつ安定的な数値近似を消えるモーメント法が提供できるか？
• RQ3 バニシング解が既知に存在する場合に、モーメント解がどの程度までバニシング解と一致するか？
• RQ4 古典的解が存在しない状況においても、消えるモーメント法を3次元完全非線形PDEに効果的に適用できるか？
• RQ5 非凸領域や特異的挙動（例：3次元でf ≡ 1、g ≡ 0のMonge-Ampère方程式）を有する問題に対しても、この手法は頑健であるか？

主な発見

• 消えるモーメント法は、有限要素法、有限差分法、不連続ガレルキン法などの標準的数値手法を用いて、2階完全非線形PDEのモーメント解を収束保証付きで計算可能である。
• テスト10では、fとgが指数関数で与えられる3次元Monge-Ampère方程式の正確な凸解を、ε = 10⁻³で正確に捉えている。
• テスト11では、f ≡ 1およびg ≡ 0の3次元Monge-Ampère問題に対して、古典的解が存在しないにもかかわらず、一意の凸バニシング解に収束している。
• 数値結果から、バニシング解が存在する場合にはモーメント解がそれと一致することが示され、従来の理論と整合性があることが検証された。
• この手法は3次元においても頑健で収束性を示し、3次元空間における完全非線形PDEに対する最初の知られている数値結果を提供する。
• 一般化されたHermann-Miyoshi混合有限要素法は、4階正則化問題の離散化に効果的に用いられ、モーメント解の正確な計算を可能にしている。