[論文レビュー] Vanishing of some Galois cohomology groups for elliptic curves

Tyler Lawson, Christian Wüthrich|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理数体上の楕円曲線 $ E/\mathbb{Q} $ に対して、ガロアコhomology群 $ H^1(G, E[p]) $ が非自明でない場合を完全に分類しており、3つの例外的な場合に限ることを特定している：$ p=3 $ のとき一意な3-isogenyが存在する場合、$ p=5 $ のとき特定の5-isogenyとそのtwistが存在する場合、および $ p=11 $ のとき曲線121c2が該当する。さらに、この分類を高次の捩れ部分群 $ E[p^i] $ に拡張し、$ H^1(G_i, E[p^i]) $ が、有理 $ p $-捩れ部分群または $ p $-または $ p^2 $-isogeny を含む特定のケースを除き、非自明でないことを示している。これらの結果は、BirchとSwinnerton-Dyer予想およびGrunwald–Wang問題への応用を含む。

ABSTRACT

Let E/Q be an elliptic curve and p be a prime number, and let G be the Galois group of the extension of Q obtained by adjoining the coordinates of the p-torsion points on E. We determine all cases when the Galois cohomology group H^1(G, E[p]) does not vanish, and investigate the analogous question for E[p^i] when i>1. We include an application to the verification of certain cases of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and another application to the Grunwald-Wang problem for elliptic curves.

研究の動機と目的

• 有理数体上の楕円曲線 $ E/\mathbb{Q} $ に対して、$ G = \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[p]) / \mathbb{Q}) $ とおくとき、$ H^1(G, E[p]) $ が非自明でないすべてのケースを特定すること。
• 特に $ p > 3 $ の場合に、$ i > 1 $ の高次の捩れ部分群 $ E[p^i] $ に対してこの分類を拡張すること。
• 得られたコホモロジーの結果を、BirchとSwinnerton-Dyer予想の特定のケースの検証および楕円曲線に対するGrunwald–Wang問題への応用に用いること。
• 局所的-globalな9進除法に対する反例を明示的に特定し、先行研究を是正・拡張すること。

提案手法

• 非自明なホモセティを含まないガロア群 $ G $ の場合に帰着することで、コホモロジー解析を単純化すること。
• 特に、mod $ p $ ガロア表現の像に注目し、群論的およびガロア表現の技法を用いて $ H^1(G, E[p]) $ を分析すること。
• 特に $ H^2 $ の重要な消滅結果を含むコホモロジー消滅結果の応用により、問題を取り扱いやすいケースに還元すること。
• ガロア群 $ G_i = \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[p^i]) / \mathbb{Q}) $ の計算と、$ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}) $ の構造的性質を用いた $ H^1(G_i, E[p^i]) $ の解析。
• 特に $ m = 9 $ の場合に、フロベニウス作用素と $ \ell $ を法とする還元を用いた局所的除法条件の数値的検証。
• コホモロジー列における局所化写像の核を分析することで、局所的-globalな除法性に対する反例を明示的に構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの楕円曲線 $ E/\mathbb{Q} $ と素数 $ p $ に対して、$ H^1(G, E[p]) $ が非自明になるか？
• RQ2 特に $ p > 3 $ の場合に、$ i > 1 $ のとき $ H^1(G_i, E[p^i]) $ が非自明になる正確な条件は何か？
• RQ3 これらのコホモロジー群の消滅を、BirchとSwinnerton-Dyer予想の特定のケースの検証にどう利用できるか？
• RQ4 コホモロジー的障害を用いて、$ m = 9 $ に対する局所的-globalな除法性の反例を構成できるか？
• RQ5 $ m = 9 $ の場合に、コホモロジー列における局所化核の構造は何か？また、ガロア群 $ G_2 $ とどう関係しているか？

主な発見

• コホモロジー群 $ H^1(G, E[p]) $ は、$ p=3 $ で一意な3-isogenyが存在する場合、$ p=5 $ で特定の5-isogenyとtwistが存在する場合、および $ p=11 $ で曲線121c2が該当する3つの特定のケースに限って非自明であり、それぞれ正確に $ p $ 個の元を持つ。
• $ p=11 $ の場合、$ \mathbb{Q} $ 上で無限個の例外が存在するが、$ p > 17 $ の場合には有限個、$ p \equiv 1 \pmod{3} $ の場合には存在しない。
• $ i > 1 $ の場合、$ H^1(G_2, E[p^2]) $ が消えるのは、すべての $ i \geq 2 $ に対して $ H^1(G_i, E[p^i]) $ が消えるときであり、これは有理 $ p $-捩れ部分群または $ p $-または $ p^2 $-isogeny を含む特定のケースを除き成り立つ。
• 局所的-globalな9進除法に対する明示的な反例が存在する。例えば、曲線243a2において、点 $ P $ はすべての $ \ell \neq 3 $ で $ 3P $ が局所的に9で割り切れるが、グローバルには9で割り切れない。
• 特に $ p=5 $ の場合、$ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}) $ の部分群 $ G_2 $ で、局所化核が非自明であるものはちょうど3つであり、それぞれ次元2、位数4である。
• 特に $ p=2 $ の場合、局所化核が非自明なケースは12通りあり、核のサイズは $ \mathbb{Z}/2 $ または $ \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 $ であり、$ M_2 $ の次元は1から3まで変動する。