[論文レビュー] Vanishing of the anchored isoperimetric profile in bond percolation at p c

Cerf, Raphaël, Dembin, Barbara|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{Z}^d$ におけるボンド確率遷移の臨界確率 $p_c$ におけるアンカーヒト効率的プロファイルを、有限のボックスを用いて $p = p_c$ にまで定義を拡張する。もし $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ の極限が存在するならば、それが消える必要があることを、クラスタの成長と半空間における確率遷移の不在に基づく背理法によって証明する。

ABSTRACT

We consider the anchored isoperimetric profile of the infinite open cluster, defined for $p > p\\_c$, whose existence has been recently proved in [3]. We extend adequately the definition for $p = p\\_c$, in finite boxes. We prove a partial result which implies that, if the limit defining the anchored isoperimetric profile at $p\\_c$ exists, it has to vanish.

研究の動機と目的

• ボンド確率遷移における $\mathbb{Z}^d$ の臨界点 $p_c$ におけるアンカーヒト効率的プロファイルの定義を拡張すること。
• $n \to \infty$ のときの $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ の漸近的挙動を分析すること。
• $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ の極限が臨界において正である可能性を特定すること。
• 存在を仮定したもとで、このような極限がゼロでなければならない部分的な結果を確立すること。
• クラスタの探索と半空間における非確率遷移に基づく背理法を用いること。

提案手法

• $p \in [0,1]$ に対して、$|H| \leq n^d$ を満たす原点を含む $\mathcal{C}(0)$ の連結部分グラフ $H$ 全体にわたる、エッジ境界比と体積比の最小値として $\widehat{\varphi}_n(p)$ を定義する。
• ボックス $[-n,n]^d$ 内に閉じた $\mathcal{C}(0)$ の探索プロセスを構築し、新たに露出された頂点が存在しなくなるまで停止する。
• $\liminf_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c) > 0$ を仮定して背理を導く。
• コarse-graining と帰納法を用いて、探索されたクラスタが少なくとも $n^{d-1}$ の割合で成長することを示し、ボックスの面との境界の交差が大きいことを示す。
• $p_c$ における半空間への確率遷移がないという結果を活用し、原点に接続された頂点の期待数が小さいことを示す。
• ある面における大きな境界接続の確率が閾値を超えることを示し、半空間における非確率遷移の結果に反する背理を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、アンカーヒト効率的プロファイル $\widehat{\varphi}_n(p_c)$ は消えるか？
• RQ2 臨界において、極限 $\lim_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ が正である可能性はあるか？
• RQ3 $p_c$ におけるクラスタ成長と境界サイズの漸近的挙動は何か？
• RQ4 半空間における確率遷移の不在は、臨界クラスタの幾何学的性質にどのように制限を加えるか？
• RQ5 $n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ に正の下界を仮定した場合、背理を導くことができるか？

主な発見

• $\lim_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c)$ の極限が存在するならば、それはゼロでなければならない。
• 背理法により、$\liminf_{n\to\infty} n\widehat{\varphi}_n(p_c) > 0$ を仮定した場合、境界サイズが少なくとも $c n^{d-1}$ 以上であることが示される。
• クラスタ探索プロセスにより、仮定のもとで、原点に接続された頂点数が $\alpha (n/k)^d$ 以上で成長することが示される（$\alpha > 0$）。
• ボックス $[-n,n]^d$ の面との境界交差が、正の確率で少なくとも $c\alpha n^{d-1}/(2^d k^d 2d)$ 以上であることが示される。
• 半空間における非確率遷移の結果を用いて、そのような頂点の期待数は $\eta (2n+1)^{d-1}$ で抑えられ、これは任意に小さくできる。
• 期待値が小さすぎるため、必要な境界接続頂点数を支えられず、以前の下界と矛盾する。