[論文レビュー] Vanishing relaxation time limit of the Jordan--Moore--Gibson--Thompson wave equation with Neumann and absorbing boundary conditions

Barbara Kaltenbacher, Vanja Nikolić|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ノイマンおよび吸収境界条件を伴うJordan–Moore–Gibson–Thompson（JMGT）波動方程式について、局所的well-posednessおよびエネルギー推定を確立し、緩和時間τ→0の極限において解がWestervelt方程式の解に収束することを証明している。解析により、τに依存しない一様なエネルギーバインディングが保証され、特異極限への厳密な移行が可能となる。

ABSTRACT

We study the Jordan--Moore--Gibson--Thompson (JMGT) equation, a third order in time wave equation that models nonlinear sound propagation, in the practically relevant setting of Neumann and absorbing boundary conditions. In the analysis, we pay special attention to dependencies on the coefficient $\ au$ of the third order time derivative that plays the physical role of relaxation time. We establish local in time well-posedness and derive energy bounds that can be made independent of $\ au$ under appropriate conditions. This fact allows us to pass to the limit $\ au\ o0$ and recover solutions of a classical model in nonlinear acoustics, the Westervelt equation, as singular limits of solutions to the JMGT equation.

研究の動機と目的

• 非線形音響波動伝播をモデル化する時間3階非線形波動方程式としてのJMGT方程式を、物理的に妥当なノイマンおよび吸収境界条件のもとで解析すること。
• 緩和時間τ→0における解の挙動を調査し、特異極限として古典的Westervelt方程式を回復することを目的とする。
• 局所的well-posednessを確立し、τに一様なエネルギー推定を導出することで、極限プロセスの正当性を保証すること。
• 有界係数h(ψ_t)を含むJMGT方程式の緩和版への拡張を行い、より滑らかでない解の存在を可能とすること。
• 適切な関数空間における弱-*位相で、τ→0における解(ψ^τ)がWestervelt方程式の解に収束することを示すこと。

提案手法

• 緩和時間τを有する時間3階PDEとしてJMGT方程式を定式化し、フーリエの法則の代わりにMaxwell–Cattaneo則を用いて非線形音響波動伝播をモデル化する。
• 境界の部分集合Γに非同次ノイマン条件を、残りの部分Σに線形吸収条件を課し、出射波をモデル化し、反射を避ける。
• エネルギー法を用いて、解ψおよびその時間微分に対する事前推定を導出し、小データ仮定のもとでτに依存しない一様なバインディングを保証する。
• 時間微分ψ_tに対する楕円型正則性理論を適用し、境界データを制御するためのトレース定理およびSobolev埋め込みを活用して正則性を向上させる。
• 係数h(ψ_t)が有界であるようにJMGT方程式の緩和版を導入し、退化を回避し、H^1-正則解の存在を保証する。
• τ→0における解(ψ^τ)が空間X̄^Wにおいて弱-*収束することを証明し、同じ境界条件および初期条件を満たすWestervelt方程式の解に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマンおよび吸収境界条件を伴うJMGT方程式が、小規模な初期データおよび境界データに対してτに一様に局所的well-posedであることが示せるか？
• RQ2 JMGT方程式のエネルギー推定がτ→0においても一様に保たれるか？ これにより特異極限への移行が可能となるか？
• RQ3 データの適切な正則性および小規模性仮定の下で、JMGT方程式の解がτ→0においてWestervelt方程式の解に収束するか？
• RQ4 JMGT方程式における係数h(ψ_t)の緩和は、元の定式化と比較して解の正則性および存在性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ノイマンデータが全域でH^{1/2}-正則でない場合でも、適切な関数空間における弱-*位相で収束結果を確立できるか？

主な発見

• 小規模な初期および境界データに対して、JMGT方程式は局所的well-posedであることが確立され、解は任意のs∈(0,1/2)に対して空間W^{1,∞}(0,T;H^{3/2+s}(Ω)) ∩ W^{2,∞}(0,T;H^1(Ω)) ∩ H^3(0,T;L^2(Ω))に属する。
• τに依存しない一様なエネルギー推定が導出され、推定のバインディングはデータノルムに依存するがτには依存しない。これによりτ→0の極限が可能となる。
• データの小規模性条件のもとで、解族(ψ^τ)は空間X̄^Wにおいて弱-*収束し、Westervelt方程式の解に収束する。
• 係数h(ψ_t)が0から離れて有界である緩和JMGT方程式に対しても、収束は成り立ち、非退化性およびH^1-正則解の存在が保証される。
• ΓにおけるノイマンデータおよびΣにおける吸収境界条件が、s<1/2に対してH^s(∂Ω)に属することを示し、楕円型正則性理論の適用が可能であることを裏付けた。
• 極限プロセスは境界条件を保存する：τ→0の極限において∂ψ/∂n = g on Γおよび∂ψ/∂n = -βψ_t on Σが成り立ち、Westerveltモデルと整合的である。