[論文レビュー] Vanishing theorems for locally conformal hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Feb 19, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Kodaira-Nakanoの消滅定理にインspiredされた解析的手法を用いて、コンパクトな局所的に可換超ケーラー（LCHK）およびアインシュタイン＝ヴァイル局所的に可換ケーラー（LCK）多様体の消滅定理を確立する。このような多様体は非自明な正則微分形式をもたず、構造層の高次のコホロロジーが自明（$H^i(\mathcal{O}_M) = 0$ for $i > 1$）であり、1次のベッチ数が1であることが示され、3-サスカリアンファイブレーションを通じて構造定理が得られる。

ABSTRACT

Let M be a compact locally conformal hyperkaehler manifold. We prove a version of Kodaira-Nakano vanishing theorem for M. This is used to show that M admits no holomorphic differential forms, and the cohomology of the structure sheaf $H^i(O_M)$ vanishes for i>1. We also prove that the first Betti number of M is 1. This leads to a structure theorem for locally conformally hyperkaehler manifolds, describing them in terms of 3-Sasakian geometry. Similar results are proven for compact Einstein-Weyl locally conformal Kaehler manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトな局所的に可換超ケーラー（LCHK）多様体上の正則微分形式およびコホロロジーの消滅定理を確立すること。
• コンパクトLCHK多様体の1次のベッチ数が1であることを証明し、トポロジカルな剛性を示すこと。
• 同様の解析的手法を用いて、アインシュタイン＝ヴァイル局所的に可換ケーラー（LCK）多様体に対してもこれらの結果を拡張すること。
• 3-サスカリアン幾何とファイブレーションの観点から、LCHK多様体の構造定理を導出すること。
• 一般のバイズマン多様体に対して反例を構成することで、アインシュタイン＝ヴァイル条件の必要性を明確にすること。

提案手法

• 局所的に可換超ケーラー構造のWeyl幾何的設定に、Kodaira-Nakanoの消滅定理の技法を適応する。
• Gauduchon計量と関連する $\partial_0$-コホロロジーを用いて、被覆空間上の微分形式を分析する。
• 重みバンドル上でKodairaの恒等式およびラプラシアン作用素の恒等式を導出するために、$SL(2)$-三重対 $L_0, \Lambda_0, H_0$ を用いる。
• $\overline{\partial}_0$-コホロロジーにおけるセール双対性を用いてコホロロジー群を関連づけ、消滅を証明する。
• 普遍被覆空間 $\widetilde{M} = C(X)$ におけるモノドロミー作用（$X$ は1-サスカリアン多様体）を分析し、1次のベッチ数を制約する。
• 楕円曲線上の負のラインバンドルを用いた円ファイブレーションを構成することで、一般のバイズマン多様体に対して反例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな局所的に可換超ケーラー多様体は、非自明な正則微分形式をもつか？
• RQ2 コンパクトLCHK多様体上での構造層のコホロロジー $H^i(\mathcal{O}_M)$（$i > 1$）の構造はいかなるものか？
• RQ3 コンパクトLCHK多様体の1次のベッチ数は何か？ そしてそれはトポロジーにどのように制約を加えるか？
• RQ4 LCHK多様体に対する消滅定理は、アインシュタイン＝ヴァイルLCK多様体へと拡張可能か？
• RQ5 アインシュタイン＝ヴァイル条件は消滅結果の成立に必要不可欠であるのか？ それとも一般のバイズマン多様体に対しても成り立つのか？

主な発見

• コンパクトLCHK多様体は非自明な正則微分形式をもたない。
• コンパクトLCHK多様体上ですべての $i > 1$ に対して $H^i(\mathcal{O}_M) = 0$ が成り立つ。
• コンパクトLCHK多様体に対して $\dim H^1(\mathcal{O}_M) = 1$ が成り立つ。
• コンパクトLCHK多様体の1次のベッチ数は正確に1である。
• コンパクトLCHK多様体の構造は、3-サスカリアンファイブレーションによって分類される。特に、準正則LCHK多様体は3-サスカリアン多様体の有限位数の自己同型から生じる。
• 反例により、一般のバイズマン多様体では消滅定理が成り立たないことが示され、アインシュタイン＝ヴァイル条件が結果の成立に不可欠であることが明らかになった。