[論文レビュー] Vanishing theorems of Kodaira type for Witt canonical sheaves

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、de Rham–Witt複体を用いて、Witt正則層の正標数版のKodairaおよびKawamata–Viehwegの消失定理を確立する。高次コホモロジー群が、Witt正則層と非常にイタリアンなラインバンドルのTeichmüller上への引き上げのテンソル積に対して、ℚにテンソル積をとった後、消えることを証明し、正標数における古典的Kodaira消失の主要な失敗を解消する。

ABSTRACT

Given a smooth projective variety over a perfect field of positive characteristic, we prove that the higher cohomologies vanish for the tensor product of the Witt canonical sheaf and the Teichmuller lift of an ample invertible sheaf. We also give a generalisation of this vanishing theorem to one of Kawamata-Viehweg type.

研究の動機と目的

• de Rham–Witt複体を用いて、Kodaira消失定理の正標数版を確立すること。
• 古典的Kodaira消失の失敗を、Witt正則層とTeichmüller上への引き上げを導入することで解決すること。
• 結果を正標数におけるKawamata–Viehweg型の消失定理に一般化すること。
• コホモロジー消失の記述においてℚにテンソル積をとる必要性を、ℤ上の反例を構成することで明確にすること。
• ℚ上のTeichmüller上への引き上げのコホモロジーの無限次元性を調査すること。

提案手法

• de Rham–Witt複体を用いて、Witt正則層およびその非常にイタリアンな可逆層のTeichmüller上への引き上げとのテンソル積を定義する。
• FrobeniusのねじれおよびVerschiebung写像を適用し、ℚにテンソル積をとった後にコホモロジーに同型を誘導する。
• コホモロジー群の逆系に対してMittag–Leffler条件を用いて、極限と整合性を持つことを保証する。
• Serre双対性およびVerschiebungを含む完全系列を用いて、コホモロジーにおける torsion-free 性および単射性を分析する。
• p進付値およびp-torsion free 性を用いて、W(k)上での線形独立性を証明し、したがってℚ上でもそうであることを示す。
• 完全系列 $0 \to (F_X)_*\underline{L}^{-p} \xrightarrow{V} \underline{L}^{-1} \to L^{-1} \to 0$ を用いて、ℤ上での非消失を示す明示的反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、Witt正則層と非常にイタリアンなラインバンドルのTeichmüller上への引き上げとのテンソル積の高次コホモロジーは消えるか？
• RQ2 Witt正則層を用いて、Kodaira消失定理をKawamata–Viehweg型の消失定理に正標数で一般化できるか？
• RQ3 消失定理においてℚにテンソル積をとる必要性は何か？また、ℤ上ではコホモロジー群はどのように振る舞うか？
• RQ4 非常にイタリアンなラインバンドルのTeichmüller上への引き上げのコホモロジー群はℚ上であっても無限次元的か？
• RQ5 消失結果は、nef かつ big なラインバンドルや高次形式に対しても拡張可能か？

主な発見

• 完全体の正標数 $p>0$ 上の滑らかで射影的多様体 $X$ に対して、次元 $N$ について、$H^i(X, W\Omega_X^N \otimes_{W\mathcal{O}_X} \underline{A}) = 0$ がすべての $i > 0$ に対して成り立つ。ここで $\underline{A}$ は非常にイタリアンな可逆層 $A$ のTeichmüller上への引き上げである。
• $H^j(X, \underline{A}^{-1}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = 0$ がすべての $j < N$ に対して成り立つ。これは正標数におけるKodaira消失定理の類似を示している。
• $H^0(X, \underline{A}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ はℚ上であっても無限次元的である。これはTeichmüller上への引き上げが有限次元性を保存しないことを示している。
• 滑らかな $X$ に対して、$H^N(X, \underline{A}^{-1}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ もℚ上であっても無限次元的である。これは非自明なコホモロジー的性質を示している。
• ℤ上では、$H^1(X, \underline{A}^{-1})$ および $H^2(X, \underline{A}^{-1})$ が非ゼロになり得る。これは、消失定理において $\otimes \mathbb{Q}$ が不可欠であることを証明している。
• 適切なアンピュリティおよび正規交叉の仮定の下で、相対的Kawamata–Viehweg消失は $\otimes \mathbb{Q}$ 後に成り立つ：$R^i f_*(\mathcal{H}om(W\mathcal{O}_X(-A), W\Omega_X^N)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = 0$ が $i > 0$ に対して成り立つ。