[論文レビュー] Vanishing Viscosity Limit for Isentropic Navier-Stokes Equations with Density-dependent Viscosity

Feimin Huang, Ronghua Pan+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 47被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、密度に依存する粘性を有する1次元等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式（$\alpha$-CNS）における無粘性極限を確立し、$\varepsilon \to 0$ のとき、有限エネルギーのエントロピー解が粘性解の極限として等エントロピーオイラー方程式の解として得られることを証明する。証明は、$L^\infty$ フレームワークにおける一様推定とコンパクト性の議論に依拠しており、$\alpha > 0$ の密度に依存する粘性の状況に、先行研究を拡張する。主な貢献は、物理的に妥当な粘性モデルのもとで、初期データのクラスを広く取り扱う無粘性極限の正当化である。

ABSTRACT

In this paper, we study the vanishing viscosity limit of one-dimensional isentropic compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity, to the isentropic compressible Euler equations. Based on several new uniform estimates to the viscous systems, in addition to the framework recently established by G. Chen and M. Perepelitsa, we justify that the finite energy solution of the isentropic compressible Euler equations for a large class of initial data can be obtained as the inviscid limit of the compressible Navier-Stokes equations even when the viscosity depends on the density.

研究の動機と目的

• 密度に依存する粘性を有する等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式（$\\alpha$-CNS）の無粘性極限を正当化すること。
• ChenとPerepelitsa（2010）の枠組みを $\\alpha > 0$ の場合、すなわち粘性が密度に依存する場合に拡張すること。これは非一様気体および浅水域の流れをモデル化する。
• 初期データが真空中に近い場合でさえも、広い範囲の初期データに対して、オイラー方程式の有限エネルギーのエントロピー解への収束を確立すること。
• 真空中でのBV推定の困難を克服するため、$L^\\\infty$ フレームワークと補償コンパクト性技術を用いること。

提案手法

• エネルギーおよびエントロピー構造を活用して、$L^\\infty$ フレームワークにおける粘性系（$\\alpha$-CNS）のための一様推定を導出する。
• 粘性系のためのエントロピー・フラックス対 $\eta^\\psi$, $q^\\psi$ を構築し、それらの時間発展方程式を導出する。
• 補償コンパクト性法を適用し、エントロピー・フラックスの微分が $1 < p < 2$ に対して $W^{-1,p}_{\\text{loc}}$ でコンパクトであることを示す。
• コーシー＝シュワルツおよび補間推定を用いて、粘性散逸項を抑え、$\varepsilon \to 0$ のとき消えることを示す。
• エントロピーとフラックスが $p_3 > 2$ に対して $L^{p_3}$ で一様有界であることを確立し、エントロピー・フラックス対の弱コンパクト性を保証する。
• ChenとPerepelitsaの定理1.2を用いて、ほとんど everywhere に収束する部分列を抽出し、オイラー方程式の有限エネルギーのエントロピー解に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性が密度に依存する場合に、等エントロピー圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における無粘性極限を正当化できるか？
• RQ2 粘性が密度に依存する $\alpha$-CNS 系（$\alpha > 0$）において、有限エネルギーのエントロピー解が無粘性極限として得られるか？
• RQ3 $\alpha$-CNS に対して、$L^\\infty$ フレームワークで一様推定とコンパクト性の議論を確立できるか、特に初期データが真空中から離れている場合でも？
• RQ4 密度に依存する粘性項 $\varepsilon (\rho^\alpha u_x)_x$ は、オイラー方程式への収束にどのように影響するか？
• RQ5 補償コンパクト性法は、非定数粘性係数を有する粘性系に適用可能か？

主な発見

• 粘性解 $(\rho^\\varepsilon, m^\\varepsilon)$ が $\varepsilon \to 0$ のとき、ほとんど everywhere に有限エネルギーのエントロピー解 $(\rho, m)$ に収束する。
• $\varepsilon \rho^\alpha (u_x^\\varepsilon)^2$ および $\varepsilon \rho^\alpha \rho_x^\\varepsilon u_x^\\varepsilon$ を含む粘性散逸項は、$L^1$ で一様有界であり、$1 < p < 2$ に対して $W^{-1,p}_{\\text{loc}}$ でコンパクトである。
• エントロピー・フラックス対 $\eta^\\psi(\rho^\\varepsilon, m^\\varepsilon)_t + q^\\psi(\rho^\\varepsilon, m^\\varepsilon)_x$ は、ある $1 < p_2 < 2$ に対して $W^{-1,p_2}_{\\text{loc}}$ でコンパクトであり、収束を可能にする。
• エントロピーとフラックスは $p_3 > 2$ に対して $L^{p_3}_{\\text{loc}}$ で一様有界であり、弱コンパクト性を保証し、収束の議論を支援する。
• $\gamma > 1$ に対して結果が成り立ち、物理的に妥当な多変化指数の範囲をカバーする。初期データが真空中から離れている場合に適用可能である。
• 本証明は、ChenとPerepelitsa（2010）の枠組みを密度に依存する粘性の状況に拡張し、$\alpha > 0$ における無粘性極限の長年の未解決問題を解決する。