[論文レビュー] Vari'et'es presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs d'eg'en'erescences

J-L. Colliot-Thélène|ArXiv.org|Sep 8, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限体、p進体、関数体のさまざまな体上でのほぼ有理的多様体の有理点を、コhomology的および変形理論的手法を用いて調査する。特定のクラスの多様体、特に離散付値環上に良いモデルをもつ多様体は、弱い条件下でも有理点をもつことが示され、正則な射影的モデルとその特別ファイバーの研究を通じて、異なる算術的設定における結果を統一する。

ABSTRACT

This survey, which contains very few proofs, addresses the general question: Over a given type of field, is there a natural class of varieties which automatically have a rational point? Fields under consideration here include: finite fields, p-adic fields, function fields in one or two variables over an algebraically closed field. Classical answers are given by the Chevalley-Warning theorem and by Tsen's theorem. More general answers were provided by a theorem of Graber, Harris and Starr and by a theorem of Esnault. The latter results apply to rationally connected varieties. We discuss these varieties from various angles : weak approximation, R-equivalence, Chow group of zero-cycles. Ongoing work on `rationally simply connected' varieties over function fields in two variables is also mentioned. A common thread in this report is the study of the special fibre of a scheme over a discrete valuation ring: if the generic fibre has a simple geometry, what does it imply for the special fibre?

研究の動機と目的

• さまざまな体上での代数的多様体の自然なクラスを同定し、それが自動的に有理点をもつこと。
• 有限体、p進体、および曲線・曲面の関数体における有理点に関する結果を統一すること。
• 離散付値環上の正則モデルとその特別ファイバーが有理点を制御する役割を調査すること。
• 有理的連結性、ブラウアー群、および有理点の存在との間の相互作用を調査すること。
• 幾何的性質（例：有理的連結性）と算術的性質（例：有理点の存在）を、異なる算術的設定において結びつける概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限体およびp進体における結果にエタールコhomologyを用いる。
• 複素数体上の関数体における結果に、正則コhomologyと消滅定理（例：Kodaira型）を用いる。
• 曲線上の多様体の族を研究するため、変形理論と最小モデルプログラムを適用する。
• 離散付値環上の正則射影的モデルとその特別ファイバーを分析し、退化を研究する。
• ガロアコhomologyとブラウアー群による有理点の基本的障害を用いる。
• R同値性と弱近似に関する結果を応用し、特殊化における有理点の振る舞いを理解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体、有限体、および曲線／曲面の関数体上での代数的多様体のどのクラスが自動的に有理点をもつのか。
• RQ2 有理的連結な多様体の退化は離散付値環上でどのように振る舞い、その特別ファイバーは有理点に何を明らかにするのか。
• RQ3 ブラウアー群や基本的障害といったコhomology的不変量が、有理点の存在をどの程度制御するのか。
• RQ4 有限体におけるエタールコhomologyと関数体における正則コhomologyの手法は、有理点の予測においてどのように比較できるか。
• RQ5 正則モデルとその特別ファイバーは、局所および大域体上の多様体の算術を理解する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 有限体および複素数体上の1変数関数体では、有理的連結な多様体に有理点が存在し、コhomology的手法によって強い結果が確立されている。
• p進体では、単連結な半単純群の主同次空間はすべて有理点をもつことが、KneseerとBruhat-Titsによって示されている。
• 有理点をもつ多様体では基本的障害が消えるが、その非消滅は有理点の存在を妨げる。
• 複素数体上の2変数関数体では、有理点の存在はまだ活発な研究分野であり、最小モデルプログラムと深い関係がある。
• 離散付値環上の正則モデルの理論は、異なる算術的設定における退化と有理点を統一的に研究する枠組みを提供する。
• ハセットとツシンケルによる結果により、関数体上の曲線の関数体上での低次数の超曲面では弱近似が成り立つことが示され、有理的連結性が有理点をもたらすという広範な予想的図式を支持する。