[論文レビュー] Variable projection methods for approximate (greatest) common divisor computations

Konstantin Usevich, Ivan Markovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Statistical and numerical algorithms参考文献 56被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、2つの同等な定式化（画像表現：共通因数と商多項式の直接的パラメータ化、および核表現：Sylvester行列の低ランク近似）を用いて、多項式における近似最大公約因数（AGCD）計算のための変数プロジェクション法を提案する。主な貢献は、最小二乗問題と最小ノルム問題の双対性を活用し、AGCDをモザイクヘンケル低ランク近似に結びつけることにより、共通因数の次数が小さくても大きくても、多項式の次数に対して線形時間計算量を達成することである。また、構造的低ランク近似ツールに基づくソフトウェア実装も提供する。

ABSTRACT

We consider the problem of finding for a given $N$-tuple of polynomials (real or complex) the closest $N$-tuple that has a common divisor of degree at least $d$. Extended weighted Euclidean seminorm of the coefficients is used as a measure of closeness. Two equivalent representations of the problem are considered: (i) direct parameterization over the common divisors and quotients (image representation), and (ii) Sylvester low-rank approximation (kernel representation). We use the duality between least-squares and least-norm problems to show that (i) and (ii) are closely related to mosaic Hankel low-rank approximation. This allows us to apply to the approximate common divisor problem recent results on complexity and accuracy of computations for mosaic Hankel low-rank approximation. We develop optimization methods based on the variable projection principle both for image and kernel representation. These methods have linear complexity in the degrees of the polynomials for small and large $d$. We provide a software implementation of the developed methods, which is based on a software package for structured low-rank approximation.

研究の動機と目的

• 係数の摂動に対して数値的に不安定な多項式GCD計算の問題を、構造的低ランク近似問題として定式化することにより、これを緩和する。
• 所定の最小次数を持つ近似共通因数（ACD）問題に対する効率的な最適化手法を開発すること。
• 最小二乗問題と最小ノルム問題の双対性を用いて、ACD問題の画像表現と核表現の等価性を確立すること。
• 最近のモザイクヘンケル低ランク近似の進展を活用し、計算効率と数値的精度を保証すること。
• 実用的展開を想定し、構造的低ランク近似パッケージに基づくソフトウェア実装を提供すること。

提案手法

• 共通因数の次数が $ d $ 以上であると仮定し、多項式を共通因数と商多項式の積としてパラメータ化する画像表現を用いてACD問題を定式化する。
• 核表現として、Sylvester行列の低ランク構造を用い、次数 $ \geq d $ の共通因数の存在が、構造的行列のランク不足と同値であることを示す。
• 画像表現における商変数を変数プロジェクションにより消去し、共通因数の係数に関する非凸最適化問題に帰着する。
• 最小二乗問題と最小ノルム問題の双対性を用いて、画像表現と核表現の関係を確立し、共通のアルゴリズム的知見を得る。
• ACD問題をモザイクヘンケル低ランク近似問題に接続し、既知の計算複雑性と精度の性質を活用して理論的保証を得る。
• 構造的低ランク近似パッケージを用いてアルゴリズムを実装し、効率性と再現可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似共通因数問題は、画像表現と核表現の両方でどのように同等に定式化できるか？
• RQ2 ACD問題の画像表現と核表現の関係は何か？ また、最小二乗問題と最小ノルム問題の双対性は、どのように活用できるか？
• RQ3 変数プロジェクション法は、画像表現と核表現の両方へ適用可能であり、多項式の次数に対して線形時間計算量を達成できるか？
• RQ4 モザイクヘンケル低ランク近似への接続は、AGCD計算の計算効率と精度をどのように向上させるか？
• RQ5 提案手法の実用的性能とスケーラビリティは、共通因数の次数や多項式のサイズにかかわらず、どのように評価できるか？

主な発見

• ACD問題の画像表現と核表現は数学的に同等であり、最小二乗問題と最小ノルム問題の双対性によって結びつけられている。
• ACD問題がモザイクヘンケル低ランク近似問題と同等であることが示され、既存の複雑性と精度に関する理論的結果の活用が可能になった。
• 両表現に変数プロジェクション法を適用することで、共通因数の次数 $ d $ が小さくても大きくても、多項式の次数に対して線形時間計算量を達成した。
• 提案手法は数値的に安定でスケーラブルであり、構造的低ランク近似ツールに基づくソフトウェア実装が提供された。
• 双対性フレームワークにより、変数プロジェクションによる変数数の削減が可能となり、収束性と性能が向上した。
• ACD問題を精度保証付きの更新ステップとして用い、$ d $ における二分探索により $ \varepsilon $-GCD問題を解く手法が可能になった。