[論文レビュー] Variable Shift SDD: A More Succinct Sentential Decision Diagram

K. Nakamura, Shuhei Denzumi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定の変数置換の下で等価なブール関数を共有することで変数の対称性を活用する、Sentential Decision Diagrams (SDDs) のより簡潔な変種である Variable Shift SDD (VS-SDD) を提案する。VS-SDD は絶対的な ID ではなく ID の差分によって変数依存関係を符号化することで、対称なブール関数において SDD よりも指数関数的なサイズ削減を達成し、Apply などのコアな操作の多項式時間サポートを維持する。

ABSTRACT

The Sentential Decision Diagram (SDD) is a tractable representation of Boolean functions that subsumes the famous Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) as a strict subset. SDDs are attracting much attention because they are more succinct than OBDDs, as well as having canonical forms and supporting many useful queries and transformations such as model counting and Apply operation. In this paper, we propose a more succinct variant of SDD named Variable Shift SDD (VS-SDD). The key idea is to create a unique representation for Boolean functions that are equivalent under a specific variable substitution. We show that VS-SDDs are never larger than SDDs and there are cases in which the size of a VS-SDD is exponentially smaller than that of an SDD. Moreover, despite such succinctness, we show that numerous basic operations that are supported in polytime with SDD are also supported in polytime with VS-SDD. Experiments confirm that VS-SDDs are significantly more succinct than SDDs when applied to classical planning instances, where inherent symmetry exists.

研究の動機と目的

• SDD が対称なブール関数を効率的に表現できないという限界に対処すること。
• 変数置換による同型性が、標準的な SDD よりもより簡潔な表現を可能にするかどうかを検討すること。
• 新しい表現において、Apply やモデル数え上げといった基本的な操作の多項式時間サポートを維持すること。
• 実世界の計画問題や組合せ問題において、対称性の活用が顕著なサイズ削減をもたらすかどうかを実験的に検証すること。

提案手法

• 絶対的な ID ではなく相対的な ID 差分を用いて変数依存関係を表現する新しい SDD 変種、VS-SDD を導入する。
• 特定の変数置換（例えば、時間ステップ間の変数の入れ替えなど）の下で同型となるブール関数の間の同値関係を定義する。
• 関数的に等価だが構文的に同一でない関数を表すサブグラフの共有を許容するように、SDD の正規構造を拡張する。
• 構築中に置換同値な部分関数を検出し、それを活用するように vtree に基づくコンパイルプロセスを変更する。
• 標準的な SDD の Apply アルゴリズムを拡張して、変数シフトによる同値性を扱えるようにし、Apply 操作の多項式時間複雑性を維持する。
• 性能のオーバーヘッドを伴わずに圧縮を向上させるために、対称性に配慮したノード共有を伴う動的 vtree 検索を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数置換の下で等価なブール関数を意思決定図内で共有することで、標準的な SDD よりもより簡潔な表現が達成可能か？
• RQ2 提案された VS-SDD 表現は、SDD に見られる Apply やモデル数え上げといった基本操作の多項式時間サポートを維持するか？
• RQ3 特に固有の対称性を持つブール関数のクラスにおいて、VS-SDD は SDD よりも指数関数的なサイズ削減を達成するか？
• RQ4 VS-SDD は、時間的・構造的対称性を持つ実世界の計画問題や組合せ問題をどの程度圧縮できるか？

主な発見

• VS-SDD は、その SDD に相当するものよりも常に大きくはならず、一部のケースでは指数関数的に小さくなる。
• 古典的計画インスタンスでは、SDD のサイズが 60% から 80% に削減され、最小比で 60.0%（bomb-5-1_t3）および 61.0%（emptyroom-4_t5）を記録した。
• N-クイーン問題では、圧縮比が 88.5%（10-Queens）および 94.3%（11-Queens）に達し、強力な対称性の活用が確認された。
• グリッドマッチング問題では、素数構造や部分構造の非対称性のため、圧縮は控えめ（94.5% から 98.8%）であった。
• SDD がサポートする Apply 操作やその他の多項式時間操作は、VS-SDD においても多項式時間でサポートされる。
• 実験により、VS-SDD が性能的コストを伴わずに、対称的領域において顕著なサイズ削減を達成することが確認された。