[論文レビュー] Variance of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with higher degree $L$-functions in $\mathbb{F}_q[t]$

Chris Hall, Jonathan P. Keating+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

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ひとこと要約

本稿は、$q \to \infty$ の極限において、$\mathbb{F}_q[t]$ 上の高次元 $L$-関数に関連する算術関数の等差数列における和の分散を、フロベニウス共轭類の等分布とそれに続く行列積分の評価を用いて計算する。主な結果として、これらの分散は一次元 $L$-関数の場合と顕著に異なり、一般化されたペア相関予想に基づく数体設定での予測と一致する。

ABSTRACT

We compute the variances of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with certain $L$-functions of degree two and higher in $\mathbb{F}_q[t]$, in the limit as $q o\infty$. This is achieved by establishing appropriate equidistribution results for the associated Frobenius conjugacy classes. The variances are thus related to matrix integrals, which may be evaluated. Our results differ significantly from those that hold in the case of degree-one $L$-functions (i.e. situations considered previously using this approach). They correspond to expressions found recently in the number field setting assuming a generalization of the pair-correlation conjecture. Our calculations apply, for example, to elliptic curves defined over $\mathbb{F}_q[t]$.

研究の動機と目的

• 高次元 $L$-関数に関連する算術関数の、$\mathbb{F}_q[t]$ 上の等差数列における和の分散を計算すること。
• これらの $L$-関数に関連するフロベニウス共轭類の等分布結果を確立すること。
• $q \to \infty$ の極限において、分散を支配する行列積分を評価すること。
• 既知の数体設定における予想、特に一般化されたペア相関予想と結果を比較すること。
• 楕円曲線が $\mathbb{F}_q[t]$ 上に定義される場合に有効な、一次元 $L$-関数のケースを超えた算術和の揺らぎの理解を拡張すること。

提案手法

• $\ell$-進コホモロジー枠組みを用いて、層の混合重み構造とそのフロベニウス固有値を分析する。
• 関数体設定におけるフロベニウス共轭類の等分布定理を用いて、算術関数の統計的挙動をモデル化する。
• Tannakian形式的およびモノドロミー群論を用いて、$L$-関数に関連する層の幾何学的・算術的構造を分析する。
• $\mathbb{G}_m$ 上の層に対して、Tannakian群 $G_{\omega_{\mathbf{1}}|M}$ 内の幾何的フロベニウス共轭類を同定する。
• モノドロミー群から生じる行列積分を計算し、等差数列における和の漸近的分散を決定する。
• Mellin変換と中間拡張層を用いて、$L$-関数の算術とガロア表現、およびフロベニウストレースを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元 $L$-関数の $\mathbb{F}_q[t]$ 上の等差数列における算術関数の和の分散は、$q \to \infty$ のときどのように振る舞うか？
• RQ2 フロベニウス共轭類の等分布が、これらの分散を決定する役割を果たすか？
• RQ3 一般化されたペア相関予想の下で、数体設定におけるそれらの行列積分と比較して、結果として得られる行列積分はどのように異なるか？
• RQ4 2次以上および1次 $L$-関数のケースにおける分散は、1次関数の場合とどのような点で異なるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_q[t]$ における結果が、リーマンゼータ関数およびその $L$-関数類似物に対する既知の予想をどの程度反映または拡張するか？

主な発見

• 高次元 $L$-関数の $\mathbb{F}_q[t]$ 上の等差数列における和の分散は、関連する層のモノドロミー群から導かれる行列積分によって漸近的に支配される。
• 得られた分散の式は、1次元 $L$-関数の場合と顕著に異なり、短区間における古典的素数定理に対応する。
• 計算された分散は、数体設定における一般化されたペア相関予想の予測と一致し、特に $\log X \leq h \leq X^{1/2}$ の範囲で成立する。
• 本手法は、$\mathbb{F}_q[t]$ 上の楕円曲線に関連する算術関数に対しても適用可能であり、ゴールドストン＝モンゴメリー分散予想の関数体版を提供する。
• 関連する $L$-関数と関連するフロベニウス共轭類は、Tannakian群内で等分布しており、不変理論を用いて統計的モーメントを評価可能である。
• 結果は $q \to \infty$ の極限で有効であり、分散の漸近的性質は $X$、$c$、および $\phi(c)$ や $\sum_{p|c} \frac{\log p}{p-1}$ などの算術的不変量で表される。