[論文レビュー] Variants of the LLL Algorithm in Digital Communications: Complexity Analysis and Fixed-Complexity Implementation

Cong Ling, Wai Ho Mow+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、デジタル通信における複素数ラティスに対して、LLLアルゴリズムの変種を提案および分析し、$O(n^3\log n)$の平均的複雑さを有する効果的LLL還元と、2つの固定複雑さ実装——固定複雑さ効果的LLLおよび深さ挿入付き固定複雑さLLL——を導入することで、近似ML性能を達成するハードウェアフレンドリーで定常スループットのラティスデコーディングを可能にした。

ABSTRACT

The Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) algorithm is the most practical lattice reduction algorithm in digital communications. In this paper, several variants of the LLL algorithm with either lower theoretic complexity or fixed-complexity implementation are proposed and/or analyzed. Firstly, the $O(n^4\log n)$ theoretic average complexity of the standard LLL algorithm under the model of i.i.d. complex normal distribution is derived. Then, the use of effective LLL reduction for lattice decoding is presented, where size reduction is only performed for pairs of consecutive basis vectors. Its average complexity is shown to be $O(n^3\log n)$, which is an order lower than previously thought. To address the issue of variable complexity of standard LLL, two fixed-complexity approximations of LLL are proposed. One is fixed-complexity effective LLL, while the other is fixed-complexity LLL with deep insertion, which is closely related to the well known V-BLAST algorithm. Such fixed-complexity structures are much desirable in hardware implementation since they allow straightforward constant-throughput implementation.

研究の動機と目的

• 複素数ラティスにおける標準LLLアルゴリズムの高いかつ変動しやすい計算複雑さを解決すること。
• 効果的LLL還元の提案により、デジタル通信におけるラティス還元の理論的複雑さを低減すること。
• 固定複雑さの近似を用いて、定常スループットのハードウェア実装を可能にするラティス還元の実現。
• i.i.d. 複素正規チャネルモデル下での複素数LLLの平均的複雑さを厳密に分析すること。
• 複素数ベースを実数形式に変換する際の複素数LLLと実数LLLの性能と近似要因の比較。

提案手法

• MIMOチャネルにおけるi.i.d. 複素正規分布下で、標準複素数LLLの平均的複雑さを$O(n^4\log n)$として導出。
• 連続する基底ベクトルペアでのみサイズ還元を実行する効果的LLL還元を導入し、複雑さを$O(n^3\log n)$に低減。
• 2つの固定複雑さ変種——固定複雑さ効果的LLLおよび深さ挿入付き固定複雑さLLL——を提案し、定常スループットのハードウェア設計を可能に。
• 複素数基底を$\mathcal{F}(\mathbf{B})$および$\mathcal{F}'(\mathbf{B})$を用いて実数形式に変換する際の複素数LLLと実数LLLの関係を分析し、Gram-Schmidt直交化下でも構造が保存されることを示した。
• 複素数基底がパrameter $\delta$ でLLL還元されている場合、その実数表現$\mathbf{B}_{\text{R}}$はパrameter $\delta - 1/4$ でLLL還元されていることを証明。
• 実数LLLと複素数LLLの近似要因を比較し、$\alpha \geq \beta^2$（ここで$\alpha = 1/(\delta - 1/2)$、$\beta = 1/(\delta - 1/4)$）が成り立つことから、複素数LLLは$\delta = 3/4$でない限り、より大きな近似要因を持つことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 複素正規チャネルモデル下での標準複素数LLLアルゴリズムの平均的理論的複雑さは何か？
• RQ2 より弱い形式のLLL還元——効果的LLL——は、ラティスデコーディングに十分な性能を維持しつつ、著しく低い複雑さを達成できるか？
• RQ3 MIMOシステムにおける定常スループットのハードウェア実装を可能にするために、LLLの固定複雑さ近似をどのように設計できるか？
• RQ4 複素数基底を実数形式に変換する際の複素数LLLと実数LLLの関係は何か？また、Lovász条件と還元品質にどのような影響を与えるか？
• RQ5 複素数LLLと実数LLLの近似要因はどのように比較できるか？また、高次元システムにおけるデコーディング性能に与える影響は何か？

主な発見

• i.i.d. 複素正規分布下で、標準複素数LLLアルゴリズムの平均的複雑さは$O(n^4\log n)$であり、このモデルに対する最初の厳密な導出である。
• 効果的LLL還元は、サイズ還元操作の削減により、平均的複雑さが$O(n^3\log n)$に低減され、標準LLLより1オーダー低い。
• 固定複雑さ効果的LLLおよび固定複雑さLLLと深さ挿入付きの2つの実装が提案され、定常スループットと予測可能な遅延を有するハードウェア実装を可能にした。
• 複素数基底がパrameter $\delta$ でLLL還元されている場合、その実数表現$\mathbf{B}_{\text{R}}$はパrameter $\delta - 1/4$ でLLL還元されており、還元品質が保持される。
• 近似要因に関しては、$\alpha \geq \beta^2$（$\alpha = 1/(\delta - 1/2)$、$\beta = 1/(\delta - 1/4)$）が成り立つため、$\delta = 3/4$でない限り、複素数LLLの近似要因は実数LLLより漸近的に悪くなる。
• より大きな近似要因にもかかわらず、低次元では複素数LLLは実数LLLとほぼ同一の性能を示し、性能の差は$n \geq 10$で初めて顕著に現れる。