[論文レビュー] Variants of the symmetry-based indicator

Ken Shiozaki|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Topological Materials and Phenomena参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、対称性に基づく指標（SI）フレームワークを、超伝導体および禁制帯境界状態を有する系の2つの新しいクラスに一般化する。ボゴリューボフ＝デギエン（BdG）形式において原子絶縁体と自明な真空を再定義し、単位格子の境界に局在する原子絶縁体の商群を導入することで、超伝導的トポロジカル相およびギャップなしのコーナー、ヘッジ、または表面状態を有する高次元トポロジカル絶縁体を検出可能な新しいSIを導出する。これにより、元来のSIの適用範囲が従来のバンド絶縁体を超えて拡張される。

ABSTRACT

The symmetry-based indicator [H. C. Po, A. Vishwanath, H. Watanabe, Nat. Commun. 8, 50 (2017)] is a practical tool to diagnose topological materials in the band theory. In this note, we present two directions to generalize the symmetry-based indicator for other classes of topological materials. The one is for superconductors. The careful definition of the atomic insulators and the trivial vacuum Hamiltonian yields the symmetry-based indicators specific to superconductors. The other is for ingap boundary states. The quotient of the group of atomic insulators by a subset of atomic insulators such as those localized at the interior of the unit cell gives us the symmetry-based indicator for detecting ingap corner, hinge, and surface states.

研究の動機と目的

• 電子バンド絶縁体を超えて、粒子-hole対称性を有する超伝導状態を含む対称性に基づく指標（SI）フレームワークを拡張する。
• 結晶対称性によって保護されるトポロジカル相を体系的に検出する方法を構築し、コーナー、ヘッジ、または表面状態などのギャップなし境界モードを有する系を対象とする。
• 単位格子内部に局在する絶縁体に対応する部分群を用いた原子絶縁体の商群を用いて一般化されたSIを定式化し、非自明な境界モードを分離する。
• 特に高次元トポロジカル絶縁体および超伝導体に対して、非自明な実空間トポロジーを有する系におけるSIの数学的基盤を提供する。
• 磁気空間群や超伝導ハミルトニアンを有する複雑な対称性群を有する材料におけるトポロジカル相の実用的診断を可能にする。

提案手法

• ボゴリューボフ＝デギエン（BdG）形式内に、超伝導状態に特化した新しい原子絶縁体および自明な真空のクラスを定義し、超伝導状態に特化したSIを構築する。
• 単位格子内部に局在する原子絶縁体の部分群を表す $ X $ を用いて、商群 $ E_{1}^{0,0}/X $ を定義し、禁制帯境界状態に敏感なSIを導出する。
• アーベル群として表されるトポロジカル不変量と原子絶縁体の間の準同型写像に対して、スミス標準形分解を適用してSIの分類を計算する。
• アティヤ＝ヒルツェブルクスペクトル系列の枠組みを用いて、ブリユアンゾーン内の異なるセルスケルトンにおけるトポロジカル不変量の階層を整理する。
• $ p $ 次元トポロジカル不変量を $ u^{(p)}_i $ と表記し、 $ (p-1) $ 次元の禁制帯境界状態に対しても同様に $ u^{(p)}_i $ を用いることで、体系的な分類を可能にする。
• 対称性制約を符号化する行列の反復的スミス分解により導出される、 $ ext{Ker}(f)/i_A( ext{Ker} ilde{ ho}_A) $ の要素としてSIを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性に基づく指標は、粒子-hole対称性を有するトポロジカル超伝導相を検出可能に一般化できるか？
• RQ2 BdG形式において、超伝導体の整合的なトポロジカル分類を可能にするために、原子絶縁体および自明な真空の適切な定義は何か？
• RQ3 ギャップなしのコーナー、ヘッジ、または表面状態を有する高次元トポロジカル相を検出できるように、SIをどのように構築できるか？
• RQ4 単位格子の選択が禁制帯境界状態の出現に与える役割は何か？ そして、これは対称性に基づく指標にどのように反映されるか？
• RQ5 単位格子内部に局在する原子絶縁体の部分群に対する原子絶縁体の商群は、高次元トポロジーに対して堅牢な指標をもたらすか？

主な発見

• BdGハミルトニアン枠組みにおいて自明な真空および原子絶縁体を再定義することで、超伝導系に特化した新しいクラスの対称性に基づく指標が導出された。
• 禁制帯境界状態の指標は、単位格子内部に局在する絶縁体の部分群による原子絶縁体群の商として得られ、境界に局在するトポロジーを分離する。
• 本手法により、 $ u^{(p)}_i $ 不変量を用いて $ p $ 次元トポロジカル絶縁体および超伝導体を検出可能であり、これはコーナー、ヘッジ、または表面モードに敏感である。
• SIの数学的構造は、アーベル群間の準同型写像およびその核を用いて形式化され、明示的な計算はスミス標準形分解により実行される。
• 付録Aのアルゴリズムを用いることで、磁気空間群対称性を有する系、特に $ E_1^{0,0} $ に torsion を有する系におけるトポロジカル不変量の分類が可能である。
• 本手法は、超伝導体および高次元トポロジカル相のSIを計算する体系的でアルゴリズム的なアプローチを提供し、スクリーニング手法への応用が有望である。