[論文レビュー] Variation Evolving for Optimal Control Computation, a Compact Way

Sheng Zhang, Jiang-Tao Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リャプノフ安定性理論と仮想的変動時間を用いて、最適制御計算のためのプライマル変数空間におけるコンパクトな変動進化法（VEM）を提案する。この手法により、最適解に漸近的に収束する進化偏微分方程式（EPDE）が導出される。コストレートを用いずに等価な最適性条件を確立することで、半離散化された初期値問題としての数値解法が可能となる。

ABSTRACT

A compact version of the variation evolving method (VEM) is developed in the primal variable space for optimal control computation. Following the idea that originates from the Lyapunov continuous-time dynamics stability theory in the control field, the optimal solution is analogized to the stable equilibrium point of a dynamic system and obtained asymptotically through the variation motion. With the introduction of a virtual dimension, namely the variation time, the evolution partial differential equation (EPDE), which seeks the optimal solution with a theoretical guarantee, is developed for the optimal control problem (OCP) with free terminal states, and the equivalent optimality conditions with no employment of costates are established in the primal space. These conditions show that the optimal feedback control law is generally not analytically available because the optimal control is related to the future states. Since the derived EPDE is suitable to be computed with the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the optimal solution may be obtained by solving the resulting finite-dimensional initial-value problem (IVP).

研究の動機と目的

• 最適制御問題のための、コンパクトでプライマル空間に基づく変動進化法（VEM）の定式化を開発すること。
• コストレート変数の必要性を排除するために、プライマル空間で直接最適性条件を導出すること。
• リャプノフ安定性理論を用いて、最適解への収束を理論的に確立すること。
• 進化偏微分方程式（EPDE）を初期値問題として半離散化することにより、数値計算を可能とすること。

提案手法

• 最適性への変動の進化をモデル化するため、'変動時間'と呼ばれる仮想次元を導入する。
• 最適制御解への変動ダイナミクスを支配する進化偏微分方程式（EPDE）を導出する。
• リャプノフ安定性理論に基づき、コストレートを用いずにプライマル空間で等価な最適性条件を確立する。
• EPDEに半離散化数値法を適用し、有限次元の初期値問題（IVP）に変換する。
• 動的システムの漸近的安定性を用いて、最適解への収束を保証する。
• 自由端末状態を有する最適制御問題に対して、理論的収束を保証するように手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コストレート変数に依存しない、コンパクトでプライマル空間に基づくVEMの定式化は可能か？
• RQ2 リャプノフ安定性理論をどのように活用すれば、変動空間における最適解への漸近的収束を保証できるか？
• RQ3 自由端末状態を有する最適制御問題において、最適性への変動ダイナミクスを支配する進化偏微分方程式（EPDE）の構造は何か？
• RQ4 EPDEはどのように効率的に離散化され、初期値問題として数値的に解けるか？
• RQ5 コストレートの明示的伝搬を必要としない、プライマル空間における理論的最適性条件は何か？

主な発見

• 提案されたEPDEは、変動時間における安定なシステムとしての変動ダイナミクスをモデル化することにより、最適解への漸近的収束を保証する。
• コストレート変数を必要とせず、プライマル空間で直接最適性条件が導出されるため、計算フレームワークが簡素化される。
• 一般に将来の状態に依存するため解析的に得られない最適制御則への収束が保証される。
• EPDEの半離散化により、標準的な常微分方程式（ODE）ソルバで数値的に解ける有限次元の初期値問題（IVP）が得られる。
• 自由端末状態を有する最適制御問題へも適用可能であり、広範な問題クラスへ応用可能である。
• 確立されたPDEおよびODEの数値技法を用いることで、理論的頑健性と計算上的実行可能性が示された。