[論文レビュー] Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche|ArXiv.org|Oct 7, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、代数的表面におけるランク2のねじれのない層のモジュライ空間が極小化の変化に伴ってどのように変化するかを研究し、壁を越えることで、点のヒルベルトスキームの積上の射影バンドルに沿った滑らかな吹き上げと吹き下ろしの系列が生じることを示している。主な貢献は、p_g = q = 0 を満たす表面に対して、ドナルドソン不変量の変化をヒルベルトスキーム上のコホモロジー類の言葉で明示的に計算し、Kotschick と Morgan の予想における最初の六つの項のうち三つの消滅を確認したことである。

ABSTRACT

The paper determines the change of moduli spaces of rank $2$ sheaves on surfaces with $p_g=0$ under change of polarization and the corresponding change of the Donaldson invariants. In this revised version we have made some minor stylistic changes in the previous text. In addition we have added a final chapter of about 20 pages (announced in the previous version), in which the six lowest order terms (three of them non-zero) of the change are computed explicitely using computations in the cohomology of Hilbert schemes of points.

研究の動機と目的

• 表面の極小化がアーモンコーン内の壁を越える際に、ランク2の層のモジュライ空間がどのように変化するかを理解すること。
• 『良い』壁を越える際、モジュライ空間の幾何的変換が滑らかな吹き上げと吹き下ろしの系列としてどのように記述できるかを明らかにすること。
• p_g = q = 0 を満たす表面に対して、極小化の変化に伴うドナルドソン不変量の変化を計算すること。
• Kotschick と Morgan が提起した、ドナルドソン不変量の変化の構造に関する予想、特に最初の項のうち三つが消えるという予測を検証すること。

提案手法

• ユニバーサル層の基本的変換を用いて、モアリの最小モデルプログラムに類似したフリップの系列として壁を越える現象を記述する。
• 表面の点のヒルベルトスキームの積上の射影バンドルに沿った滑らかな吹き上げとして、モジュライ空間の変化をモデル化する。
• ヒルベルトスキーム上のコホモロジー計算を適用し、ドナルドソン不変量の変化を自然なクラスの言葉で表現する。
• 対称積コホモロジーと等長的積分技術を用いて、S^d 上の交点数を計算する。
• 再帰的公式と対称関数を用いて、特定の単項式を除くモジュロでの多項式表現を導出する。
• 最初の六つの項を明示的に計算することで、Kotschick-Morgan 予想との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面 S の極小化 H がアーモンコーン内の壁を越えるとき、モジュライ空間 M_H(c1,c2) はどのように変化するか？
• RQ2 壁を越えた際のモジュライ空間間の変換の幾何的性質は何か？ そしてこれは吹き上げと吹き下ろしの系列として記述可能か？
• RQ3 極小化の変化に伴いドナルドソン不変量はどのように変化するか？ また、p_g = q = 0 を満たす表面に対しては、この変化を明示的に計算可能か？
• RQ4 ドナルドソン不変量の変化における最初の六つの項が、Kotschick と Morgan の予想と一致するか？ 特に、項のうち三つが消えるという予測が正しいか？
• RQ5 不変量の変化を、表面 S の点のヒルベルトスキーム上のコホモロジー類のみを用いて表現可能か？

主な発見

• 壁を越える際のモジュライ空間の変換は、点のヒルベルトスキームの積上の射影バンドルに沿った滑らかな吹き上げの系列と、その後に続く滑らかな吹き下ろしの系列として実現される。
• K3 あるいはアーベル表面の場合、変化はシンプレクティック多様体の基本的変換であり、シンプレクティック構造を保存する。
• ドナルドソン不変量の変化は、表面 S の点のヒルベルトスキーム上の自然なコホモロジー類の言葉で明示的に計算された。
• ドナルドソン不変量の変化における最初の六つの項が計算され、そのうち三つが消えることが判明し、Kotschick-Morgan 予想が裏付けられた。
• 結果は、特に多項式の次数 2, 4, 6 の項がゼロであるという予想との整合性を示している。
• 計算は、対称積コホモロジーと S^d 上の交点論に依拠しており、特に等長的積分と対称関数の恒等式を用いて重要な恒等式が導出された。