[論文レビュー] Variation of Periods Modulo p in Arithmetic Dynamics

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、数体上の準同型的多様体上での自己写像 $ \varphi $ に対して無限軌道をもつ点 $ P $ について、ほとんどすべての素点 $ \mathfrak{p} $ における軌道のサイズが、任意のべき $ (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ よりも速く成長することを確立する。高さ推定と解析的密度の議論を用いて、このような軌道サイズはほとんどすべての素点で $ \log p $ にほぼ達するほど大きく、自明な下界よりも著しく改善されている。

ABSTRACT

Let F : V --> V be a self-morphism of a quasiprojective variety defined over a number field K and let P be a point in V(K) with infinite orbit under iteration of F. For each prime ideal p of good reduction, let m_p(F,P) be the size of the F-orbit of the reduction of P modulo p. Fix any e > 0. We show that for almost all primes p, in the sense of analytic density, the orbit size m_p(F,P) is larger than (log(N(p)))^(1-e), where N(p) is the norm of the ideal p.

研究の動機と目的

• 自己写像の下で無限前向き軌道をもつ点の、素数モジュロにおける軌道サイズの分布を理解すること。
• 解析的密度を用いて、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $、すなわち $ \varphi $-軌道の $ \mathfrak{p} $ モジュロのサイズに対する自明な下界を改善すること。
• ほとんどすべての素点 $ \mathfrak{p} $ に対して、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) > (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ が成り立つことを確立すること。これは従来の境界よりも指数的に優れている。
• 一般の算術的力学へと一般化された、$ p $ における乗法的位数に関する結果の動的類似を提供すること。
• 数値実験に基づいて、軌道サイズが $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $ の速度で成長すると予想すること。これはランダム写像の挙動と整合的である。

提案手法

• 有理写像の高さ推定（命題 4）を用いて、$ \mathfrak{p} $ モジュロにおける軌道サイズを、$ P $ の算術的性質に関連づける。
• 算術的距離の高さ推定（命題 6）を適用し、素点のノルム $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ の観点から軌道サイズの成長を制御する。
• 重要な同値関係を確立：$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \leq m $ であることは、$ \mathfrak{p} \mid D(m) $ であることと同値であり、ここで $ D(m) $ は $ \log\log D(m) \ll m $ を満たす整数である。
• 解析的不等式（定理 11）を導出：すべての $ s > 0 $ に対して、$ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $ が成り立ち、これは小さい軌道サイズの密度を制御する。
• 解析的密度 $ \boldsymbol{\delta} $ を用いて、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ が大きい素点の割合を定量化し、$ \gamma < 1 $ に対して $ m_{\mathfrak{p}} \geq (\log p)^\gamma $ を満たす素点の密度が 1 であることを示す。
• 二次多項式 $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ に対する数値実験を用いて、$ m_{\mathfrak{p}} \approx \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $ であるという予想を検証し、$ \sqrt{p} $ よりわずかに遅い速度で成長することが観察された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己写像 $ \varphi $ に対して無限軌道をもつ点 $ P $ について、素点 $ \mathfrak{p} $ モジュロにおける軌道サイズ $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ はどの程度大きいか？
• RQ2 ほとんどすべての素点 $ \mathfrak{p} $ に対して、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ が任意のべき $ (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ よりも大きいことを証明できるか？
• RQ3 解析的密度として、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ を満たす素点の集合の下界が $ 1 - C\epsilon $ で抑えられるか？
• RQ4 軌道サイズは、ランダム写像の期待と一致するように、$ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $ の速度で成長するか？
• RQ5 観測された軌道サイズとランダム写像のヒューリスティック $ \sim \sqrt{\#\mathbb{P}^N(\mathbb{F}_{\mathfrak{p}})} $ の乖離をどのように定量的に測定できるか？

主な発見

• 任意の $ \gamma < 1 $ に対して、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})\gamma $ を満たす素点 $ \mathfrak{p} $ の集合は解析的密度 1 をもつ。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ を満たす素点の下位解析的密度は、$ C $ を $ N, \varphi, P $ に依存する定数として、$ 1 - C\epsilon $ 以上である。
• 軌道サイズ $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ は、$ \mathfrak{p} \mid D(m) $ であることに同値であり、ここで $ D(m) $ は $ \log\log D(m) \ll m $ を満たす整数である。
• 解析的不等式が確立された：すべての $ s > 0 $ に対して、$ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $ が成り立ち、これは小さい軌道サイズの密度を制御する。
• $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ に対する数値実験から、$ m_{\mathfrak{p}}(\varphi_c, \alpha) $ が $ \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $ よりわずかに遅い速度で成長することが示唆され、$ \frac{1}{\log X} \sum_{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \leq X} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{m_{\mathfrak{p}}^2} $ の和は $ X $ と共に増加する。
• 本稿は、密度 1 の素点の集合において $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2 - \epsilon} $ が成り立つと予想し、また $ \kappa > 0 $ に対して $ m_{\mathfrak{p}} \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{-\kappa} $ が成り立つかどうかを問う。