[論文レビュー] Variation of the canonical height in a family of rational maps

Niki Myrto Mavraki|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定の有理写像族における有理点の標準高さとその一般化ファイバー高さの間の差が有界であることを確立し、定数 C が c のみに依存するという |ĥ_{f_λ}(c(λ)) − ĥ_f(c)h(λ)| ≤ C を証明する。この結果は、Call と Silverman の枠組みを、次数 d の有理写像族において一様かつ明示的な境界を与えることで精緻化し、算術的力学における高さの変動の理解を深める。

ABSTRACT

Let d ≥2 be an integer, let c ∈ ℚ(t) be a rational map, and let f_t(z) = (z^d+t)/z be a family of rational maps indexed by t. For each t = λ algebraic number, we let ĥ_(f_λ)(c(λ)) be the canonical height of c(λ) with respect to the rational map f_λ; also we let ĥ_f(c) be the canonical height of c on the generic fiber of the above family of rational maps. We prove that there exists a constant C depending only on c such that for each algebraic number λ, |ĥ_(f_λ)(c(λ))-ĥ_f(c)h(λ)| ≤C. [Formula missing] This improves a result of Call and Silverman for this family of rational maps.

研究の動機と目的

• 有理関数体 ℚ(t) 上の有理写像族 f_t(z) = (z^d + t)/z における標準高さの変動を分析すること。
• 関数体上のファイバーにおける標準高さ ĥ_f(c) と、数体への特殊化された写像 f_λ における有理点 c(λ) の標準高さ ĥ_{f_λ}(c(λ)) を比較すること。
• すべての代数的数 λ に対して、|ĥ_{f_λ}(c(λ)) − ĥ_f(c)h(λ)| が有界であるような、点 c のみに依存する定数 C による一様な上界 C を確立すること。
• Call と Silverman の高さ変動に関する一般的結果を、この特定の有理写像族においてより鋭く、明示的な境界を与えることで改善すること。

提案手法

• 著者たちは、d ≥ 2 を満たす関数体 ℚ(t) 上の有理写像族 f_t(z) = (z^d + t)/z を定義する。
• 彼らは関数体上の Néron-Tate 高さの道具立てを用いて、一般ファイバー上の標準高さ ĥ_f(c) を計算する。
• 各代数的数 λ に対して、特殊化された写像 f_λ 上での標準高さ ĥ_{f_λ}(c(λ)) を評価する。
• 等分布理論と高さ理論の技法を用いて、特殊化された高さと λ の対数的高さ h(λ) でスケーリングされた一般高さを比較する。
• 特殊化された高さとスケーリングされた一般高さの絶対差が C 以下であるような、点 c のみに依存する一様な境界 C を導出する。
• 証明は、写像族の構造および力学的系における標準高さの性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像が一般ファイバーから数体への特殊化されたとき、点の標準高さはどのように変動するか？
• RQ2 特殊化された写像上の標準高さとスケーリングされた一般標準高さとの間のずれの正確な性質は何か？
• RQ3 すべての代数的特殊化 λ に対して、このずれに対して一様な境界を、点 c のみに依存する形で確立できるか？
• RQ4 写像族 f_t(z) = (z^d + t)/z の構造は、一般結果よりも鋭い高さ境界を可能にする程度は何か？
• RQ5 この結果は、この特定の力学的族において、Call と Silverman の一般的高さ変動定理をどの程度精緻化・改善するか？

主な発見

• 特殊化された標準高さ ĥ_{f_λ}(c(λ)) とスケーリングされた一般標準高さ ĥ_f(c)h(λ) の差は、点 c のみに依存する定数 C によって一様に有界である。
• 境界 C は特殊化パrameter λ に依存せず、すべての代数的数 λ に対して一様な推定値を提供する。
• この特定の有理写像族において、Call と Silverman の一般的高さ変動定理を、より鋭く明示的な境界を与えることで改善している。
• 写像族 f_t(z) = (z^d + t)/z は、その代数的・力学的構造のおかげで、制御された高さ変動を示す。
• 一般ファイバー上の標準高さ ĥ_f(c) は中心的な参照点として機能し、そこからのずれは h(λ) でスケーリングされ、一様に有界である。